Théorème de Cotes (cercle)

En géométrie plane, le théorème de Cotes sur le cercle établit une relation entre les distances d'un point aux sommets d'un polygone régulier et la distance de ce point au centre du polygone.

Énoncé en 1716 par Roger Cotes, il se démontre en général par l'utilisation des complexes. Il sert à factoriser les polynômes $x^{n}\pm r^{n}$ et permet de décomposer des fractions rationnelles en éléments simples. Il permet également de mettre en évidence des formules trigonométriques.

On considère un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ et un entier naturel non nul $n$ . On découpe le cercle en $2 n$ parties égales à l'aide des points ${\textstyle \left(A_{i}\right)_{i\in \{0,\cdots 2n-1\}}}$ et on considère un point $M$ situé sur la demi-droite $[OA 0)$ alors

\left|OM^{n}-r^{n}\right|=MA_{0}\times MA_{2}\times \cdots \times MA_{2n-2}

OM^{n}+r^{n}=MA_{1}\times MA_{3}\times \cdots MA_{2n-1}

Par exemple, pour $n = 2$ , ces égalités donnent, pour la première égalité, un cas particulier de la puissance d'un point par rapport à un cercle et pour la seconde égalité le théorème de Pythagore.

Historique

Le théorème est énoncé par Roger Cotes en 1716 et découvert par son cousin Robert Smith dans ses papiers après sa mort^[1]. Le but de Cotes était de factoriser des polynômes de la forme $x n - r n$ ou $x n + r n$ de manière à pouvoir décomposer des fonctions rationnelles en éléments simples et ainsi les intégrer plus facilement^[2]. En effet, en notant $x$ la distance $OM$ , grâce à l'axe de symétrie $(OA 0)$ et en utilisant le théorème d'Al-Kashi, les deux formules conduisent aux formes suivantes :

x^{n}-r^{n}=(x^{2}-r^{2})\prod _{k=1}^{m-1}\left(x^{2}-2xr\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)+r^{2}\right)

si

n=2m

x^{n}-r^{n}=(x-r)\prod _{k=1}^{m}\left(x^{2}-2xr\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)+r^{2}\right)

si

n=2m+1

x^{n}+r^{n}=\prod _{k=0}^{m-1}\left(x^{2}-2xr\cos \left({\frac {(2k+1)\pi }{n}}\right)+r^{2}\right)

si

n=2m

x^{n}+r^{n}=(x+r)\prod _{k=0}^{m-1}\left(x^{2}-2xr\cos \left({\frac {(2k+1)\pi }{n}}\right)+r^{2}\right)

si

n=2m+1

Une première démonstration par Henry Pemberton (en) en 1722 utilise le développement en série de $sin(nθ)$ et $cos(nθ)$ ^[3]. Abraham De Moivre en fait une nouvelle démonstration en 1730 en utilisant les complexes et sa formule

\cos B={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{\cos(nB)+\mathrm {i} \sin(nB)}}+{\sqrt[{n}]{\cos(nB)-\mathrm {i} \sin(nB)}}\right)

Il en généralise la formule permettant ainsi une factorisation de $x 2 n - 2 Lx n + 1$ ^[4]. De telles propriétés sont de fait parfois appelées propriétés de Cotes-De Moivre sur le cercle^[5].

En 1797, John Brinkley en fait une démonstration n'utilisant pas les complexes^[6]

Démonstration sans les complexes - principe de la méthode^[1]

On peut, sans perte de généralité, supposer que le cercle est de rayon 1. En élevant au carré le produit des distances et en nommant $x$ la distance $OM$ , il s'agit de démontrer, pour la première formule, que

x^{2n}-2x^{n}+1=\prod _{k=0}^{n-1}MA_{2k}^{2}.

Grâce, au théorème d'Al-Kashi, on sait que

MA_{2k}^{2}=x^{2}+1-2x\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)=2x\left({\frac {x^{2}+1}{2x}}-\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)\right).

On pose alors

X={\frac {x^{2}+1}{2x}}

et

\omega _{k}=\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right).

Il s'agit donc de prouver que

x^{2n}-2x^{n}+1=2^{n}x^{n}\prod _{k=0}^{n-1}(X-\omega _{k}).

Or on sait que, en utilisant le polynôme de Tchebychev de première espèce $T n$ que

\cos(n\theta )=T_{n}(\cos(\theta )).

et en l'appliquant aux angles précédents

\cos \left(n{\frac {2k\pi }{n}}\right)=T_{n}(\omega _{k})=1.

Les ${\textstyle \omega _{k}}$ sont donc les $n$ racines du polynôme $T n (X) - 1$ ^[7]. On a donc l'égalité

2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}(X-\omega _{k})=T_{n}(X)-1

Il s'agit donc de prouver que

x^{2n}-2x^{n}+1=2x^{n}\left(T_{n}\left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)-1\right).

Ce qui se fait aisément, par exemple par récurrence, sachant que

T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_{n}(X).

En 1797 et 1806, de manière indépendante, Caspar Wessel et Jean-Robert Argand mettent en place une interprétation géométrique des complexes. La démonstration de ce théorème en est alors simplifiée. Wessel^[8] en propose une démonstration simple et Argand une généralisation proche de celle de De Moivre^[9].

Démonstration et généralisation du théorème de Cotes grâce aux affixes

On se contente de découper le cercle en $n$ parties égales, obtenant ainsi les points $B k$ d'affixes ${\textstyle \omega _{k}=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2k\pi /n}}$ . Le point $M$ d'affixe $z$ est choisi quelconque dans le plan complexe. La distance $MB k$ correspond au module de ${\textstyle z-\omega _{k}}$ . On a ainsi

\prod _{k=0}^{n-1}MB_{k}=\left|\prod _{k=0}^{n-1}(z-\omega _{k})\right|.

Or ${\textstyle \omega _{k}^{n}=r^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2nk\pi /n}=r^{n}}$ donc les ${\textstyle \omega _{k}}$ sont les $n$ racines du polynôme $z n -r n$ . On a alors

\prod _{k=0}^{n-1}MB_{k}=|z^{n}-r^{n}|.

Si le point $M$ est d'affixe réelle positive, on obtient la première égalité du théorème de Cotes. Si le point $M$ a pour affixe ${\textstyle OM\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /(2n)}}$ , on obtient la seconde égalité du théorème de Cotes. Enfin si $r = 1$ et ${\textstyle z=x\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }}$ , en élevant au carré l'égalité on obtient, grâce au théorème d'Al-Kashi

|x^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\theta }-1|^{2}=\prod _{k=0}^{n-1}MB_{k}^{2}.

x^{2n}-2x^{n}\cos(n\theta )+1=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x^{2}-2x\cos \left(\theta -{\frac {2k\pi }{n}}\right)+1\right).

Le théorème de Cotes permet également de démontrer des égalités trigonométriques^[10]^,^[11].

Théorème de Cotes (cercle)

Historique

Notes et références

Bibliographie

Liens externes

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