Théorème de Courcelle

La propriété, pour un graphe, d'être colorable en trois couleurs, s'exprime par l'existence de trois ensembles de sommets ${\displaystyle R,V,B}$ que l'on peut définir par la formule monadique du second ordre suivante

${\displaystyle {\begin{aligned}\exists \,R,V,B\,&{\bigl (}\forall s\,(s\in R\lor s\in V\lor s\in B){\bigr )}\land \\&{\bigl (}\forall s,t\,((s\in R\land t\in R)\lor (s\in V\land t\in V)\lor (s\in B\land t\in B))\to \lnot \mathrm {adj} (s,t){\bigr )}.\end{aligned}}}$

La première partie de la formule assure que les trois ensembles couvrent tous les sommets (tout sommet a une couleur) et la deuxième partie exprime que ces trois ensembles forment un ensemble indépendant. Ainsi, le théorème de Courcelle dit que la 3-coloriabilité d'un graphe en la largeur d'arborescence bornée peut être testée en temps linéaire.

Une des approches de preuve du théorème de Courcelle utilise la construction d'un automate d'arbres ascendant qui réalise la décomposition arborescente du graphe pour le reconnaitre^[3].

• Théorème de Robertson-Seymour

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