Théorème de Crocco

Pour un écoulement non visqueux, l'enthalpie totale est reliée à l’enthalpie massique et à la vitesse  :

${\displaystyle h+{\frac {V^{2}}{2}}=h_{0}}$

où h est l'enthalpie massique, h₀ l'enthalpie d'arrêt (ou enthalpie génératrice) et V la vitesse. On en déduit

${\displaystyle \nabla h+\nabla \left({\frac {V^{2}}{2}}\right)=\nabla h_{0}}$

Par ailleurs la relation thermodynamique liant l'enthalpie à l'entropie S, la température T, la masse volumique ρ et la pression p permet d'écrire

${\displaystyle \nabla h=T\nabla S+{\frac {\nabla p}{\rho }}}$

En l'absence de force extérieure l'équation de quantité de mouvement s'écrit :

${\displaystyle (\mathbf {V} \cdot \nabla )\mathbf {V} =-{\frac {\nabla p}{\rho }}}$

On a l'identité suivante, faisant apparaître le vecteur tourbillon  ${\displaystyle \mathbf {\Omega } ={\frac {1}{2}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} }$

${\displaystyle (\mathbf {V} \cdot \nabla )\mathbf {V} =\nabla \left({\frac {V^{2}}{2}}\right)-\mathbf {V} \times \mathbf {\Omega } }$

En réunissant les expressions précédentes on peut écrire

${\displaystyle \mathbf {V} \times \mathbf {\Omega } =\nabla h_{0}-T\nabla S}$

Cette expression est l'une des formes possibles du théorème de Crocco^[3].