Théorème de Darboux (géométrie)

La question est locale, et on peut fort bien supposer que la variété ${\displaystyle M}$ est un ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, étoilé en ${\displaystyle 0}$, et ${\displaystyle \omega }$ est une 2-forme différentielle fermée et non dégénérée avec :

${\displaystyle \omega _{0}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q}$

Par une isotopie, on va déformer ${\displaystyle \omega }$ en ${\displaystyle \omega _{0}}$. Rappelons que toute isotopie ${\displaystyle {\Psi _{t}}}$ est le flot d'un champ de vecteurs dépendant du temps ${\displaystyle {X_{t}}}$.

Posons ${\displaystyle \omega _{t}=t\cdot \omega +(1-t)\cdot \mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q}$.

Raisonnons par condition nécessaire. La formule de Cartan permet de dériver l'identité ${\displaystyle \Phi _{t}^{*}\omega _{t}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q}$ :

${\displaystyle 0=\Phi _{t}^{*}\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\omega _{t}+L_{X_{t}}\omega _{t}\right]\Longrightarrow \omega -\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q=-\mathrm {d} \iota _{X_{t}}\omega _{t}}$

La forme ${\displaystyle \omega -\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q}$ est exacte sur l'ouvert étoilé ${\displaystyle U}$, et donc s'écrit ${\displaystyle \mathrm {d} \alpha }$ où ${\displaystyle \alpha }$ est une 1-forme différentielle. Pour des raisons de non-dégénérescence, il existe un unique champ de vecteurs dépendant du temps ${\displaystyle {X_{t}}}$ implicitement défini par :

${\displaystyle \iota _{X_{t}}\omega _{t}=\alpha }$

Si ${\displaystyle {\Phi _{t}}}$ est le flot, alors ${\displaystyle \Phi _{1}}$ répond à la question.

Remarque : La démonstration est encore incomplète à ce stade !