Théorème de Debreu

Supposons que l'on souhaite modéliser les préférences d'une personne. Une possibilité serait de procéder par comparaisons successives de paires d'options : on demanderait pour une série d'éléments A et B (pouvant représenter des actions, des états du monde ou encore des paniers de consommation) quel élément la personne préfère. Toutes les réponses seraient enregistrées et constitueraient une relation de préférence. Une autre possibilité plus pratique consisterait à utiliser une fonction d'utilité : une fonction qui associe un nombre réel à chaque option, de telle sorte que l'utilité de l'option A soit supérieure à celle de l'option B si et seulement si l'agent préfère A à B.

Les théorèmes de Debreu portent sur la question suivante : quelles conditions sur la relation de préférence garantissent l'existence d'une fonction d'utilité représentative ?

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Les théorèmes de 1954 ^[1],[2] énoncent en substance que toute relation de préférence complète, transitive et continue peut être représentée par une fonction d'utilité ordinale continue.

Ces théorèmes s'appliquent généralement à un nombre de biens finis. Cependant, ils sont applicables dans un cadre beaucoup plus général. Voici les hypothèses :

• X est un espace topologique.
• ${\displaystyle \preceq }$ est une relation sur X qui est complète (tous les éléments sont comparables) et transitive.
• ${\displaystyle \preceq }$ est continue. Cela signifie que les conditions équivalentes suivantes sont satisfaites :
  1. Pour chaque ${\displaystyle x\in X}$, les ensembles ${\displaystyle \{y|y\preceq x\}}$ et ${\displaystyle \{y|y\succeq x\}}$ sont fermés dans ${\displaystyle X}$.
  2. Pour chaque séquence ${\displaystyle (x_{i})}$ tel que ${\displaystyle x_{i}\to x_{\infty }}$, si pour tout i ${\displaystyle x_{i}\preceq y}$ alors ${\displaystyle x_{\infty }\preceq y}$, et si pour tout i ${\displaystyle x_{i}\succeq y}$ alors ${\displaystyle x_{\infty }\succeq y}$.

Chacune des conditions suivantes garantit l'existence d'une fonction continue à valeurs réelles représentant la relation de préférence ${\displaystyle \preceq }$. Les conditions sont de plus en plus faibles, donc la condition 1 implique la condition 2, qui implique la condition 3, qui implique elle-même la condition 4.

1. L'ensemble des classes d'équivalence de la relation ${\displaystyle \sim }$ (défini par : ${\displaystyle x\sim y}$ si ${\displaystyle x\preceq y}$ et ${\displaystyle x\succeq y}$ ) est un ensemble dénombrable.

2. Il existe un sous-ensemble dénombrable de X, ${\displaystyle Z=\{z_{0},z_{1},...\}}$, de sorte que pour toute paire d'éléments non équivalents ${\displaystyle x\prec y}$, il existe un élément ${\displaystyle z_{i}\in Z}$ qui les sépare ( ${\displaystyle x\preceq z_{i}\preceq y}$).

3. X est séparable et connexe.

4. X est à base dénombrable. Cela signifie qu'il existe un ensemble dénombrable S d'ouverts, tel que tout ouvert de X est l'union d'ensembles de S.

La démonstration du quatrième résultat comportait une lacune que Debreu a corrigée plus tard^[3].

A. Soit ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ un espace métrique muni de la topologie canonique. Définissons la relation de préférence suivante : ${\displaystyle (x,y)\preceq (x',y')}$ si et seulement si ${\displaystyle x+y\leq x'+y'}$. Elle est continue car pour chaque ${\displaystyle (x,y)}$, les ensembles ${\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\leq x+y\}}$ et ${\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\geq x+y\}}$ sont des demi-plans fermés. La condition 1 n'est pas respectée car l'ensemble des classes d'équivalence est non dénombrable. Cependant, la condition 2 est satisfaite, Z étant l'ensemble des paires de coordonnées rationnelles. La condition 3 est également satisfaite puisque X est séparable et connexe. Par conséquent, il existe une fonction continue qui représente ${\displaystyle \preceq }$. Un exemple d'une telle fonction est ${\displaystyle u(x,y)=x+y}$.

B. Soit ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ avec la même topologie canonique. La relation de préférence lexicographique n'est pas continue dans cette topologie. Par exemple, ${\displaystyle (5,1)\succ (5,0)}$, mais dans chaque boule autour de (5,1), il y a des points avec ${\displaystyle x<5}$ et ces points sont inférieurs à ${\displaystyle (5,0)}$. En effet, cette relation ne peut être représentée par une fonction continue à valeurs réelles (elle ne peut même pas être représentée par des fonctions discontinues).

Preuves tirées de^[2].

Notation : pour tout ${\displaystyle x,y\in X}$, on définit ${\displaystyle ]x,y[=\{z\in X:x\prec z\prec y\}}$, et on définit de même les autres intervalles.

 

 

 

Diamond^[4] a appliqué le théorème de Debreu à l'espace ${\displaystyle X=\ell ^{\infty }}$, l'ensemble de toutes les suites bornées à valeurs réelles munies de la topologie induite par la norme sup (voir L-infini ). X représente l'ensemble de tous les flux d'utilité à horizon infini, dans un modèle d'utilité intertemporel.

En plus de l'exigence que ${\displaystyle \preceq }$ soit complète, transitive et continue, Diamond ajoute condition de sensibilité :

• Si un flux ${\displaystyle x}$ est plus petit qu'un flux ${\displaystyle y}$ à chaque période, alors ${\displaystyle x\prec y}$.
• Si un flux ${\displaystyle x}$ est plus petit ou égal à un flux ${\displaystyle y}$ à chaque période, alors ${\displaystyle x\preceq y}$.

Sous ces conditions, chaque flux ${\displaystyle x}$ est équivalent à un flux à utilité constante, et deux flux à utilité constante sont séparables par un flux à utilité constante avec une utilité rationnelle, donc la condition 2 de Debreu est satisfaite, et la relation de préférence peut être représentée par une fonction à valeurs réelles.

L'existence d'une telle fonction reste vérifie même lorsque la topologie de X est modifiée pour devenir la topologie induite par la métrique actualisée : ${\displaystyle d(x,y)=\sum _{t=1}^{\infty }{2^{-t}|x_{t}-y_{t}|}}$

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Le théorème 3 de 1960 ^[5]stipule que si l'espace des biens contient au moins 3 éléments, et que la préférence sur chaque paire de sous-ensembles des biens est indépendante des autres éléments, alors la relation de préférence peut être représentée par une fonction de d'utilité additive.

Voici les hypothèses :

• X, l'espace de tous les paniers, est le produit cartésien de n espaces de biens : ${\displaystyle X=\times _{i=1}^{n}{X_{i}}}$ (c'est-à-dire que l'espace des paniers est un ensemble de n-uplets de biens).
• ${\displaystyle \preceq }$ est une relation sur X qui est complète (tous les éléments sont comparables) et transitive.
• ${\displaystyle \preceq }$ est continue (voir ci-dessus).
• Il existe une fonction d'utilité ordinale, ${\displaystyle v}$, représentant ${\displaystyle \preceq }$.

La fonction ${\displaystyle v}$ est dite additive si elle peut s'écrire comme somme de n fonctions d'utilité ordinales sur les n facteurs :

${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}v_{i}(x_{i})}}$

où les ${\displaystyle k_{i}}$ sont constants.

Étant donné un ensemble d'indices ${\displaystyle I}$, l'ensemble des biens ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ est dit préférentiellement indépendant si la relation de préférence ${\displaystyle \preceq }$ induite sur ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$, étant donné des quantités constantes des autres produits ${\displaystyle (X_{i})_{i\notin I}}$, ne dépend pas de ces quantités constantes.

Si ${\displaystyle v}$ est additive, alors tous les sous-ensembles de produits sont préférentiellement indépendants.

Si tous les sous-ensembles de biens sont préférentiellement indépendants ET qu'au moins trois biens sont essentiels (c'est-à-dire que leurs quantités ont une influence sur la relation de préférence ${\displaystyle \preceq }$ ), alors ${\displaystyle v}$ est additive.

De plus, ${\displaystyle v}$ est unique à transformation linéaire croissante près.