Théorème de Dunford-Schwartz

En analyse fonctionnelle (mathématique), le théorème de Dunford-Schwartz, nommé d'après Nelson Dunford et Jacob T. Schwartz, établit que les moyennes des puissances de certains opérateurs bornés sur L¹ convergent, en un sens approprié^[1].

Soit T un opérateur linéaire de L¹ dans L¹ tel que ‖T‖₁ ≤ 1 et ‖T‖_∞ ≤ 1 (au sens^[2] : ∀g ∈ L¹∩L^∞, ‖Tg‖_∞ ≤ ‖g‖_∞). Alors, pour tout f ∈ L¹,

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}T^{k}f}$

est définie presque partout.

L'hypothèse ‖T‖_∞ ≤ 1 ne peut être affaiblie en ‖T‖_∞ ≤ 1 + ε^[2].