Théorème de Dvoretzky

Pour tout entier naturel k et tout réel ε > 0, il existe un entier naturel n(k, ε) tel que tout espace vectoriel normé de dimension n(k, ε) possède un sous-espace de dimension k dont la distance de Banach-Mazur à ℓ²(k) soit majorée par 1 + ε. ^[2]

Pour un sous-espace normé (E, ‖.‖) de dimension k, dire que la distance de E à ℓ²(k) (l'espace euclidien de dimension k) est majorée par 1 + ε revient à dire qu'il existe sur E une norme |.| euclidienne (i.e. racine carrée d'une forme quadratique définie positive) telle que :

${\displaystyle \forall x\in E,\quad |x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|.}$

En 1971, Vitali Milman a donné une nouvelle preuve de ce théorème, par une méthode probabiliste, en utilisant la concentration de mesure sur la sphère pour montrer qu'un sous-espace de dimension k choisi aléatoirement est à distance inférieure à 1 + ε de ℓ²(k) avec une probabilité très proche de 1. La preuve donne une estimation fine en fonction de k :

${\displaystyle n(k,\varepsilon )\leq \exp \left({\frac {k}{c(\varepsilon )}}\right).}$

Autrement dit, tout espace normé X de dimension n possède un sous-espace de dimension k ≥ c(ε) log n à distance inférieure à 1 + ε de ℓ²(k).

Plus précisément, soient S^{n – 1} la sphère unité pour une certaine norme euclidienne |.| sur X et σ la mesure de probabilité invariante sur S^{n – 1}, alors :

• pour |.| fixée, il existe un sous-espace E sur lequel l'encadrement ci-dessus est vérifié et pour lequel${\displaystyle \dim(E)\geq c(\varepsilon )\left({\frac {\int _{S^{n-1}}\|\xi \|~{\rm {d}}\sigma (\xi )}{\max _{\xi \in S^{n-1}}\|\xi \|}}\right)^{2}n~;}$
• il existe sur X une norme euclidienne |.| telle que${\displaystyle {\frac {\int _{S^{n-1}}\|\xi \|~{\rm {d}}\sigma (\xi )}{\max _{\xi \in S^{n-1}}\|\xi \|}}\geq c_{1}{\sqrt {\frac {\log n}{n}}},}$où c₁ est une constante universelle.

Le plus grand k possible est noté k_✻(X) et appelé la dimension de Dvoretzky de X. Sa dépendance par rapport à ε a été étudiée par Yehoram Gordon^[5],[6], qui a démontré que k_✻(X) ≥ c₂ ε² log n. Une autre démonstration en a été donnée par Gideon Schechtman^[7].

Noga Alon et Vitali Milman ont montré que si l'on demande seulement qu'il existe un sous-espace de dimension k proche soit de ℓ²(k), soit de ℓ^∞(k), cette borne en log n peut être améliorée en k ≥ exp(c√log n), pour une certaine constante c^[8].

Tadeusz Figiel, Joram Lindenstrauss et Milman ont démontré d'importants résultats liés^[9].

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