Théorème de Hardy

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En mathématiques, le théorème de Hardy est un résultat d'analyse complexe décrivant le comportement des fonctions holomorphes.

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction holomorphe non-constante sur la boule ouverte centrée en zéro de rayon ${\displaystyle R}$ dans le plan complexe. Si l'on définit

${\displaystyle I(r)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!\left|f(re^{i\theta })\right|\,d\theta }$

pour ${\displaystyle 0<r<R,}$ alors cette fonction est strictement croissante et est une fonction convexe de ${\displaystyle \log r}$.