Théorème des trois cercles de Hadamard
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En analyse complexe, le théorème des trois cercles de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur une couronne.
Soit f une fonction holomorphe sur l'ouvert et continue sur son adhérence .
![{\displaystyle C=\{r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\mid (r,\theta )\in ]r_{1},r_{2}[\times \mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d246809c396c758dca5a0d37af37cb8b9d8219a4)
On pose : .
Alors ln(M(r)) est une fonction convexe de ln r.
C'est-à-dire : .
![{\displaystyle \forall r\in ]r_{1},r_{2}[\quad \ln \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\ln M(r)\leq \ln \left({\frac {r_{2}}{r}}\right)\ln M(r_{1})+\ln \left({\frac {r}{r_{1}}}\right)\ln M(r_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67103276cfe1bc96e8d8db06d61e116482c1154f)
De plus, si f(z) n'est pas de la forme A zB, alors ln(M(r)) est une fonction strictement convexe de ln r.
Nota : les trois cercles apparaissant dans ce théorème sont ceux de centre 0 et de rayons .
![{\displaystyle \forall s\in \left]\ln r_{1},\ln r_{2}\right[\quad m(s)=\sup _{\theta }|f(\mathrm {e} ^{s+\mathrm {i} \theta })|=\sup _{\theta }|g(s+\mathrm {i} \theta )|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f33a6793c243399a99ba6c53748debf1bc5937)
![{\displaystyle B=\{x+\mathrm {i} y\mid (x,y)\in \left]\ln r_{1},\ln r_{2}\right[\times \mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b761ad703637f5009f32178907db5cfa372b6f)
