Théorème de Hartman-Grobman

Soient ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ une fonction de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ possédant un zéro p, et ${\displaystyle A}$ la matrice jacobienne de ${\displaystyle f}$ au point p. On suppose que p est un point d'équilibre hyperbolique, c'est-à-dire qu'aucune valeur propre de ${\displaystyle A}$ n'a sa partie réelle nulle.

Alors, il existe deux ouverts U et V de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ contenant respectivement p et 0, et un homéomorphisme

${\displaystyle h:U\to V}$

tel que

${\displaystyle h(p)=0}$

et qui envoie les trajectoires de ${\displaystyle x'(t)=f(x(t))}$ bijectivement sur les trajectoires de ${\displaystyle y'(t)=Ay(t)}$ dans V = h(U) en gardant l'orientation donnée par le temps t. On dit alors que les flots de ${\displaystyle f}$ et A sont topologiquement conjugués^{[1],[2],[3],[4]}.

Figure 1. Portrait de phase du système linéarisé.

Figure 2. Portrait de phase du système (1).

Considérons le système dynamique suivant :

${\displaystyle (1)\quad {\begin{cases}x'&=x(1-{\frac {x}{2}})-xy\\y'&=xy-y\end{cases}}}$

ou

${\displaystyle {\begin{cases}x'&=f_{1}(x,y)\\y'&=f_{2}(x,y)\end{cases}}}$

avec

${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x,y)&=x(1-{\frac {x}{2}})-xy\\f_{2}(x,y)&=xy-y.\end{cases}}}$

Ce système admet trois équilibres : (0, 0), (2, 0) et (1, 1/2). On va étudier le comportement des trajectoires de ce système autour de l'équilibre (2, 0).

Pour cela, on calcule la jacobienne de ${\displaystyle f}$ en (2, 0) :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&-2\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

Les valeurs propres de ${\displaystyle A}$ sont –1 et 1 ; l'équilibre (2, 0) est donc hyperbolique. Concernant le comportement du système linéaire, l'étude du portrait de phase nous indique que l'équilibre est un point-selle, voir figure 1. L'utilisation du théorème de linéarisation nous indique qu'au voisinage de (2, 0), le système (1) se comporte de la même manière, voir figure 2.

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