Théorème de Kurosh sur les sous-groupes

Soit ${\displaystyle G={\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ le produit libre de groupes ${\displaystyle G_{i}}$ pour ${\displaystyle i\in I}$ et soit ${\displaystyle H\leq G}$ un sous-groupe de ${\displaystyle G}$. Alors

${\displaystyle H=H_{0}\,*(\,{\underset {j\in J}{*}}g_{j}H_{j}g_{j}^{-1})}$,

où ${\displaystyle H_{0}}$est un sous-groupe libre de ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle J}$ est un ensemble d'indices, et pour chaque ${\displaystyle j\in J}$ , ${\displaystyle g_{j}\in G}$ et ${\displaystyle H_{j}}$est un sous-groupe d'un ${\displaystyle G_{j}}$.

Si de plus l'indice ${\displaystyle [G:H]}$ est fini et égal à ${\displaystyle m}$ alors le groupe libre ${\displaystyle H_{0}}$ est de rang

${\displaystyle \mathrm {rg} (H_{0})=\sum _{\alpha \in A}(m-|R_{\alpha }|)+1-m}$^{[9],[10],[11]}.

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