Théorème de Laguerre

Théorème de Laguerre (cas réel)^[1] —  Si ${\textstyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$ est un polynôme unitaire de degré ${\displaystyle n}$, ayant ${\displaystyle n}$ racines réelles, alors ces racines sont toutes dans l'intervalle ${\displaystyle [u,v]}$ où ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ sont les racines du polynôme

${\displaystyle nx^{2}+2a_{n-1}x+\left(2(n-1)a_{n-2}-(n-2)a_{n-1}^{2}\right)}$

Théorème de Laguerre (cas complexe)^[2] —  Soit ${\displaystyle f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{0}}$ un polynôme unitaire de degré ${\displaystyle n}$ à coefficients complexes. Considérons un point ${\displaystyle z_{0}}$ tel que ${\textstyle f'(z_{0})\neq 0}$. Alors, il existe au moins une racine de ${\displaystyle f}$ dans le disque fermé centré en ${\displaystyle z_{0}}$ et de rayon ${\textstyle n{\frac {|f(z_{0})|}{|f'(z_{0})|}}}$.