Théorème de Liapounov-Malkine

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Considérons un système d'équations différentielles :

${\displaystyle \displaystyle {{\dot {x}}=Ax+X(x,y),\quad {\dot {y}}=Y(x,y)}}$

avec ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$et ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$ les inconnues du système, ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{m}(\mathbb {R} )}$ une matrice qui représente les termes linéaires du système et ${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$et ${\displaystyle Y:\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$qui représentent les termes non linéaires d'ordre supérieur du système. Si les valeurs propres de la matrice ${\displaystyle A}$ sont à parties réelles strictement négatives et que ${\displaystyle X(0,y)=Y(0,y)=0}$ pour tout ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$, alors la solution (0, 0) est stable.