Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
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Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Liouville, démontré par Joseph Liouville en 1844[1], concerne l'approximation diophantienne des nombres algébriques par les rationnels. Il montre que les nombres irrationnels algébriques sont « mal » approchés par les rationnels, au sens où les approximations rationnelles exigent des dénominateurs relativement grands. Il s'énonce comme suit :
Théorème[2] — Soit α un nombre réel algébrique de degré d > 1. Alors il existe une constante A > 0 telle que pour tout rationnel p/q (avec q > 0 et p entiers), on ait :
En 1844, Liouville en déduit les premiers nombres transcendants découverts, par exemple la somme des inverses des 10n! ; ces nombres sont connus désormais sous le nom de nombres de Liouville.
