Théorème de Lochs

Pour presque tous les nombres réels de l'intervalle ]0, 1[, le nombre m de termes du développement de ce réel en fraction continue permettant d'en obtenir les n premières décimales a le comportement asymptotique suivant :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {m}{n}}={\frac {6\ln 2\ln 10}{\pi ^{2}}}\approx 0{,}97027014}$ (suite A086819 de l'OEIS)^[2].

On peut interpréter ce résultat comme affirmant que chaque terme supplémentaire de la représentation en fraction continue d'un réel « typique » donne une précision d'un peu plus d'une décimale supplémentaire. La base 10 est d'ailleurs la plus grande base pour laquelle la représentation positionnelle est moins précise (à ce sens) que celle en fraction continue : en base 11, la constante correspondante, ${\displaystyle {\frac {6\ln 2\ln 11}{\pi ^{2}}}\approx 1{,}010432}$, devient supérieure à 1.

L'inverse de cette limite,

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2\ln 10}}\approx 1{,}03064083}$ (suite A062542 de l'OEIS),

est le double du logarithme décimal de la constante de Lévy.

• (en) Karma Dajani et Cor Kraaikamp, Ergodic theory of numbers, Cambridge University Press, 2002 (ISBN 978-0-88385034-3), p. 173 sur Google Livres
• (en) C. Faivre, « A central limit theorem related to decimal and continued fraction expansion », Arch. Math., vol. 70, n^o 6, 1998, p. 455-463 DOI 10.1007/s000130050219

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