Théorème de Lucas

Un coefficient binomial ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ est divisible par un nombre premier ${\displaystyle p}$ si et seulement si au moins un chiffre ${\displaystyle k_{i}}$ de ${\displaystyle k}$ en base ${\displaystyle p}$ est strictement plus grand que le chiffre correspondant ${\displaystyle n_{i}}$ de ${\displaystyle n}$, auquel cas ${\displaystyle {\binom {n_{i}}{k_{i}}}=0}$ . Ce corollaire est aussi un corollaire du théorème de Kummer.

Cette démonstration est due à Nathan Fine qui l'a publiée en 1947^[2].

Si ${\displaystyle p}$ est un nombre premier, la formule du pion montre que ${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$ est multiple de ${\displaystyle p}$ pour ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant p-1}$ et que donc

${\displaystyle (1+X)^{p}\equiv 1+X^{p}{\pmod {p}}.}$

Par récurrence, on en déduit que pour tout entier naturel ${\displaystyle i}$ :

${\displaystyle (1+X)^{p^{i}}\equiv 1+X^{p^{i}}{\pmod {p}}.}$

Connaissant ${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{r}n_{i}p^{i}}$ et ${\displaystyle k=\sum _{i=0}^{r}k_{i}p^{i}}$, on peut écrire :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}X^{k}&=(1+X)^{n}=\prod _{i=0}^{r}\left((1+X)^{p^{i}}\right)^{n_{i}}\\&\equiv \prod _{i=0}^{r}\left(1+X^{p^{i}}\right)^{n_{i}}=\prod _{i=0}^{r}\left(\sum _{k_{i}=0}^{n_{i}}{\binom {n_{i}}{k_{i}}}X^{k_{i}p^{i}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}\left(\prod _{i=0}^{r}{\binom {n_{i}}{k_{i}}}\right)X^{k}{\pmod {p}},\end{aligned}}}$

D'où le résultat.

• Arithmétique et théorie des nombres