Théorème de Marden
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Cet article est une ébauche concernant l’analyse et la géométrie.
En mathématiques, le théorème de Marden, portant le nom du mathématicien Morris Marden, établit une relation géométrique entre les zéros d'un polynôme du troisième degré d'une variable complexe et les zéros de son polynôme dérivé :
- Si les zéros z1, z2, z3 d'un polynôme du troisième degré à coefficients complexes ne sont pas alignés, alors il existe une unique ellipse inscrite dans le triangle de sommets z1, z2, z3 et tangente aux côtés du triangle en leur milieu. Cette ellipse est appelée ellipse de Steiner. Le théorème assure alors que les foyers de cette ellipse sont les zéros du polynôme dérivé de .
Marden attribue ce théorème à Jörg Siebeck[1] et rapporte neuf versions de ce théorème parues entre 1864 et 1928.
Par le théorème de Gauss-Lucas, la racine de la dérivée seconde p"(z) doit être le point moyen des deux foyers, qui est donc le centre de l'ellipse et le centre de gravité du triangle. Dans le cas spécial du triangle équilatéral, l'ellipse inscrite se réduit à un cercle, et la dérivée de p admet une racine double au centre du cercle. La réciproque est vraie : si la dérivée du polynôme admet une racine double, alors le triangle doit être équilatéral (Kalman 2008a).
