Théorème de Plancherel

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction de carré sommable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et soit ${\displaystyle A>0}$. On peut définir la transformée de Fourier de la fonction tronquée à ${\displaystyle [-A,A]}$ : ${\displaystyle {\hat {f}}_{A}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}f(x)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega x}~\mathrm {d} x.}$

Alors lorsque ${\displaystyle A}$ tend vers l'infini, les fonctions ${\displaystyle {\hat {f}}_{A}}$ convergent en moyenne quadratique (c'est-à-dire pour la norme ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$) vers une fonction qu'on note ${\displaystyle {\hat {f}}}$ et que l'on appelle transformée de Fourier (ou de Fourier-Plancherel) de ${\displaystyle f}$.

En outre, la formule d'inversion de Fourier est vérifiée : la fonction ${\displaystyle {\hat {f}}}$ est elle-même de carré sommable et on a (au sens de la norme ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$) : ${\displaystyle f(x)=\lim _{A\to +\infty }\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\int _{-A}^{A}{\hat {f}}(w)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} wx}~\mathrm {d} w\right].}$

Ainsi, la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L². De plus, c'est une isométrie de cet espace de Hilbert :

${\displaystyle \forall f\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )\quad \|f\|_{2}=\|{\hat {f}}\|_{2}}$

ou, ce qui est équivalent :

${\displaystyle \forall f,g\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )\quad \langle f,g\rangle =\langle {\hat {f}},{\hat {g}}\rangle }$.

Cette définition est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables.