Théorème de Silverman-Toeplitz

Soit la matrice infinie susmentionnée ${\displaystyle (a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }}$ des éléments complexes satisfaisant les conditions suivantes :

1. ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0}$ pour tout ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ fixé .
2. ${\displaystyle \sup _{i\in \mathbb {N} }\sum _{j=1}^{i}\vert a_{i,j}\vert <\infty }$ ;

et ${\displaystyle z_{n}}$ une suite de nombres complexes qui converge vers ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }}$ . On désigne par ${\displaystyle S_{n}}$ la suite de somme pondérée : ${\displaystyle S_{n}=\sum _{m=1}^{n}{\left(a_{n,m}z_{n}\right)}}$ .

Les résultats suivants sont alors vérifiés :

1. Si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }=0}$, alors ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=0}$ .
2. Si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }\neq 0}$ et ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\sum _{j=1}^{i}a_{i,j}=1}$, alors ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=z_{\infty }}$^[1].

Pour ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ fixe donné, les suites complexes ${\displaystyle z_{n}}$, ${\displaystyle S_{n}}$ et ${\displaystyle a_{i,j}}$ tendent vers zéro si et seulement si les suites réelles ${\displaystyle \left|z_{n}\right|}$, ${\displaystyle \left|S_{n}\right|}$ et ${\displaystyle \left|a_{i,j}\right|}$ tendent respectivement vers zéro. On note également ${\displaystyle M=\sup _{i\in \mathbb {N} }\sum _{j=1}^{i}\vert a_{i,j}\vert >0}$ .

Puisque ${\displaystyle \left|z_{n}\right|\to 0}$, pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$ fixé, il existe ${\displaystyle N_{\varepsilon }=N_{\varepsilon }\left(\varepsilon \right)}$, tel que pour chaque ${\displaystyle n>N_{\varepsilon }\left(\varepsilon \right)}$, on a ${\displaystyle \left|z_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{2M}}}$ . Ensuite, pour certains ${\displaystyle N_{a}=N_{a}\left(\varepsilon \right)>N_{\varepsilon }\left(\varepsilon \right)}$ , on a ${\displaystyle \left|a_{n,m}\right|<{\frac {M}{N_{\varepsilon }}}}$ pour chaque ${\displaystyle n>N_{a}\left(\varepsilon \right)}$ et ${\displaystyle 1\leqslant m\leqslant n}$ . Par conséquent, pour chaque ${\displaystyle n>N_{a}\left(\varepsilon \right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left|S_{n}\right|=\left|\sum _{m=1}^{n}\left(a_{n,m}z_{n}\right)\right|\leqslant \sum _{m=1}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{n}\right|\right)=\sum _{m=1}^{N_{\varepsilon }}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{n}\right|\right)+\sum _{m=N_{\varepsilon }}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{n}\right|\right)<\\&<N_{\varepsilon }\cdot {\frac {M}{N_{\varepsilon }}}\cdot {\frac {\varepsilon }{2M}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=N_{\varepsilon }}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=1}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\cdot M=\varepsilon \end{aligned}}}$

ce qui signifie donc que les deux suites ${\displaystyle \left|S_{n}\right|}$ et ${\displaystyle S_{n}}$ convergent vers zéro^[2].

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(z_{n}-z_{\infty }\right)=0}$ . En appliquant l’énoncé déjà prouvé, on obtient ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{n}-z_{\infty }\right){\big )}=0}$ . Enfin,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}z_{n}{\big )}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{n}-z_{\infty }\right){\big )}+z_{\infty }\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}{\big )}=0+z_{\infty }\cdot 1=z_{\infty }}$, ce qui complète la preuve.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Silverman–Toeplitz theorem » (voir la liste des auteurs).

• (de) Otto Toeplitz, « Über allgemeine lineare Mittelbildungen », Prace mat.-fiz., vol. 22,‎ 1911, p. 113–118 (lire en ligne)
• (en) Louis Lazarus Silverman, On the definition of the sum of a divergent series, University of Missouri Studies, coll. « Math. Series », 1913
• (en) G. H. Hardy, Divergent Series, Oxford, Clarendon Press, 1949, 43-48 p. (lire en ligne).
• (en) Johann Boos, Classical and modern methods in summability, New York, Oxford University Press, 2000 (ISBN 019850165X, lire en ligne)

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