Théorème de Sokhotski–Plemelj

Le théorème de Sokhotski–Plemelj en analyse complexe permet l'évaluation d'intégrales de Cauchy. Il a été démontré par Julian Sokhotski en 1873^[1] et redécouvert par Joseph Plemelj^[2] en 1908 dans sa résolution du problème de Riemann-Hilbert (en)^[3].

Soit C un contour fermé régulier du plan et f une fonction analytique sur C. L'intégrale de Cauchy

{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi

définit deux fonctions analytiques^[4]^,^[3] :

- à l'intérieur du domaine défini par C	$\Phi _{+}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi +{\frac {1}{2}}f(z)$
- hors de ce domaine	$\Phi _{-}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi -{\frac {1}{2}}f(z)$

On peut ainsi résoudre les problèmes où l'on impose sur C :

- un saut	$f_{+}-f_{-}=\phi$
- une valeur	$f=\phi$
- une relation du type	$f_{+}=gf_{-}$

Ce dernier cas constitue le problème de Riemann-Hilbert.

Cas particulier

Article connexe : Relations de Kramers-Kronig.

Soit f une fonction à valeurs complexes définie et continue sur l'axe réel, et soient $a$ et $b$ deux valeurs réelles telles que $a$ < 0 < $b$ . Alors

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx\mp {\frac {1}{2}}f(0)

Démonstration

On développe :

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx\mp {\frac {1}{2}}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx

Dans le premier terme ${\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}$ est symétrique par rapport à 0, tend vers 1 lorsque $|x|>>\varepsilon$ , vers 0 lorsque $|x|<<\varepsilon$ . La limite est donc la valeur principale de Cauchy.
Dans le second terme ${\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}$ tend vers une distribution de Dirac.