Théorème de Squire

L'équation de Orr-Sommerfeld est une équation aux valeurs propres décrivant l'évolution de perturbations infinitésimales dans un écoulement incompressible parallèle visqueux, décrit par les équations de Navier-Stokes. Ce type d'analyse s'étend à l'équation de Rayleigh pour un écoulement non visqueux, décrit par les équations d'Euler^[3].

On prend le cas d'un écoulement de Poiseuille en géométrie plane, se déplaçant suivant x entre deux plaques, décrit par la vitesse moyenne  ${\displaystyle \mathbf {V} =(u(y),0,0)}$  et perturbé par une onde harmonique

${\displaystyle \mathbf {V} '=W(y)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left(\alpha x+\beta z-\omega ct\right)}}$

où α et β sont les nombres d'onde, ω la pulsation et c la vitesse de propagation. W(y) est une fonction régulière arbitraire.

Squire a montré^[1] que l'équation de stabilité de ce problème était identique à celle d'un problème sans perturbation en z à condition de prendre une perturbation équivalente α_eq telle que

${\displaystyle \alpha _{eq}^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}}$

et un nombre de Reynolds  ${\displaystyle Re_{eq}}$ tel que

${\displaystyle Re_{eq}\alpha _{eq}=Re\,\alpha }$

On a donc

${\displaystyle Re_{eq}\leq Re}$

D'où le théorème de Squire : à toute perturbation tridimensionnelle on peut associer un mode bidimensionnel qui est plus instable. L'étude de la perturbation bidimensionnelle est donc suffisante pour établir un critère de stabilité.

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