Théorème de Stallings
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Le théorème de Stallings est un théorème de la théorie des groupes des groupes qui caractérise les groupes à plusieurs bouts. Il en résulte une caractérisation des groupes libres par leur dimension cohomologique, parfois aussi appelée théorème de Stallings ou théorème de Stallings-Swan.
John Stallings et Richard Swan ont reçu le prix Frank-Nelson-Cole d'algèbre pour ces résultats.
Pour un groupe de type fini soit le nombre de bouts du graphe de Cayley de ; ce nombre est indépendant du choix du système générateur utilisé pour construire le graphe de Cayley. D'après un théorème de Freudenthal[1], on a ou .
Théorème de Stallings sur les bouts de groupes — On a si et seulement si est un produit libre amalgamé non trivial de deux groupes de type fini sur un groupe fini ou une extension HNN non triviale d'un groupe de type fini par un groupe fini[2],[3].
En particulier, on a pour les groupes de type fini sans torsion exactement quand un produit libre de deux sous-groupes non triviaux.
Théorème de Stallings-Swan de caractérisation des groupes libres
Il découle du théorème de Stallings qu'un groupe de type fini est libre si et seulement si sa dimension cohomologique est .
Une forme plus générale a été démontrée par Swan[4] :
Théorème de Stallings-Swan — Soit un anneau unitaire et un groupe sans torsion. Alors est libre si et seulement si .
Ce théorème ne nécessite pas l'hypothèse que est de type fini. La condition d'être sans torsion est toujours satisfaite pour les groupes quand .
Une autre conséquence est qu'un groupe sans torsion contenant un sous-groupe libre d'indice fini est lui-même libre.
