Théorème de Stolz-Cesàro

En mathématiques, le théorème de Stolz-Cesàro établit une condition suffisante d'existence de limite d'une suite. Un cas particulier de cette version discrète de la règle de l'Hôpital^[1] est le lemme de Cesàro.

Son nom vient des mathématiciens Otto Stolz^[2] et Ernesto Cesàro^[3].

Soient $(u n)$ et $(v n)$ deux suites réelles, se trouvant dans l'un des deux cas suivants^[4]^,^[5] :

(cas $0/0$ ) : $(v n)$ strictement décroissante, $\lim _{n\to \infty }u_{n}=\lim _{n\to \infty }v_{n}=0$ ;
(cas $∙/\infty$ )^[6] : $(v n)$ strictement croissante et $\lim _{n\to \infty }v_{n}=+\infty$ .

${\rm {Si}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{v_{n+1}-v_{n}}}=\ell \in {\overline {\mathbb {R} }}\quad {\rm {alors}}\quad {\frac {u_{n}}{v_{n}}}\to \ell .$

L'énoncé reste vrai si $u n et ℓ$ sont des nombres complexes ou, plus généralement, des éléments d'un espace vectoriel normé^[7].

Démonstration

On ne s'intéressera qu'au deuxième cas avec $ℓ$ fini. Soit $ε > 0$ . Par hypothèse, on sait qu'il existe N suffisamment grand tel que :

\forall n\geqslant N,\ \ell -{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{v_{n+1}-v_{n}}}<\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}\quad \mathrm {et} \quad v_{N}>0.

Donc :

\forall M>N,{\begin{aligned}\left(\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{N+1}-v_{N})&<&u_{N+1}-u_{N}&<&\left(\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{N+1}-v_{N})\\\left(\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{N+2}-v_{N+1})&<&u_{N+2}-u_{N+1}&<&\left(\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{N+2}-v_{N+1})\\&\vdots &&\vdots &\\\left(\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{M}-v_{M-1})&<&u_{M}-u_{M-1}&<&\left(\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{M}-v_{M-1})\\\end{aligned}}

Soit, par somme :

\forall M>N,\left(\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{M}-v_{N})<u_{M}-u_{N}<\left(\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(v_{M}-v_{N})

En divisant par v_M, qui est positif par hypothèse, et en réarrangeant, on a :

\forall M>N,\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {u_{N}-(\ell -{\tfrac {\varepsilon }{2}})v_{N}}{v_{M}}}<{\frac {u_{M}}{v_{M}}}<\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {u_{N}-(\ell +{\tfrac {\varepsilon }{2}})v_{N}}{v_{M}}}.

Par limite de la suite v, on peut trouver M suffisamment grand tel que :

\forall M>N,\ell -{\frac {\varepsilon }{2}}-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {u_{M}}{v_{M}}}<\ell +{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}.

Ce qui permet de conclure.

Reformulation

En posant $a n = u n - u n -1$ et $b n = v n - v n -1$ dans le cas $∙/\infty$ et $a n = u n - u n +1$ et $b n = v n - v n +1$ dans le cas 0/0, l'énoncé devient^[8] :

Soient $(a n)$ et $(b n)$ deux suites réelles, avec $b n > 0$ , et telles que ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to \ell \in {\overline {\mathbb {R} }}.$

(Cas $0/0$ ) : si les séries $\sum a n$ et $\sum b n$ convergent alors ${\frac {\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}}{\sum _{k=n}^{\infty }b_{k}}}\to \ell .$

(Cas $∙/\infty$ ) : si $\sum b n$ diverge alors ${\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\to \ell .$

Exemples

Voici deux applications du cas $∙/\infty$ .

Le lemme de Cesàro s'obtient en posant $b n = 1$ .
Soit $α > 0$ . Sachant que $\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }}{n^{\alpha -1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(1+1/n)^{\alpha }-1}{1/n}}=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}x^{\alpha }\right)_{x=1}=\alpha ,$ en posant $a_{n}=(n+1)^{\alpha -1}{\text{ et }}b_{n}=(n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }$ on trouve^[9] : $\lim _{n\to \infty }{\frac {1^{\alpha -1}+2^{\alpha -1}+3^{\alpha -1}+\ldots +n^{\alpha -1}}{n^{\alpha }}}={\frac {1}{\alpha }}.$ (Pour $α$ entier, il s'agit du coefficient dominant du polynôme de la formule de Faulhaber.)

Généralisations du cas ∙/∞

Soient $(a n)$ et $(b n)$ deux suites réelles, avec $b n > 0$ et $\sum b n = +\infty$ . Alors, les limites inférieure et supérieure de $(a n / b n)$ encadrent celles de la suite des quotients de sommes partielles des deux séries^[10] : $\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.$
Soient $p n, k$ ( $n, k \in ℕ$ ) des réels positifs tels que $\forall n\in \mathbb {N} \quad \sum _{k}p_{n,k}=1$ et $s \mapsto t$ la transformation linéaire sur les suites bornées définie par $t_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }p_{n,k}s_{k}.$ Une condition nécessaire et suffisante pour que cette transformation soit régulière, c'est-à-dire pour qu'elle vérifie $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\ell \Rightarrow \lim _{n\to \infty }t_{n}=\ell \quad (*)$ est^[11] : $\forall k\in \mathbb {N} \quad \lim _{n\to \infty }p_{n,k}=0.$ Dans le cas triangulaire inférieur, c'est-à-dire lorsque $p n, k = 0$ dès que $k > n$ , la transformation s'étend aux suites non bornées, et si la condition de régularité est satisfaite alors l'implication (✻) est encore vraie pour $ℓ = \pm\infty$ .

Démonstration

Cette condition est nécessaire car pour chaque $k$ , la suite $(p n, k) n$ est la transformée de la suite $(δ k, n) n$ .

Supposons que la condition est vérifiée et que $s n \to ℓ$ , et montrons que $t n \to ℓ$ . On se ramène comme dans la preuve précédente au cas $ℓ = 0$ .

Soit $ε > 0$ . Il existe alors $N 1$ tel que $\forall k\geq N_{1}\quad |s_{k}|\leq \varepsilon ,$ puis $N 2$ tel que pour chaque $k < N 1$ , $\forall n\geq N_{2}\quad p_{n,k}\leq {\frac {\varepsilon }{N_{1}|s_{k}|}}.$ Alors, pour tout $n \geq N 2$ , ${\begin{aligned}|t_{n}|&\leq \sum _{k}p_{n,k}|s_{k}|\\&\leq \sum _{k<N_{1}}p_{n,k}|s_{k}|+\sum _{k\geq N_{1}}p_{n,k}|s_{k}|\\&\leq \sum _{k<N_{1}}{\frac {\varepsilon }{N_{1}}}+\sum _{k\geq N_{1}}p_{n,k}\varepsilon \\&\leq \varepsilon +\sum _{k}\varepsilon p_{n,k}\\&=2\varepsilon ,\end{aligned}}$ ce qui prouve que $t n \to 0$ .

Le cas

∙/\infty

s'en déduit, en posant^[12]

p_{n,k}={\begin{cases}{\frac {b_{k}}{\sum _{j=0}^{n}b_{j}}}&{\text{si }}k\leq n,\\0&{\text{si }}k>n.\end{cases}}

Théorème de Stolz-Cesàro

Reformulation

Exemples

Généralisations du cas ∙/∞

Notes et références

Voir aussi

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