Théorème de Sárközy

Le théorème de Sárközy est une démonstration partielle de la conjecture, due à Paul Erdös, suivante^[1] :

Puisque ${\displaystyle 4}$ divise${\displaystyle {2n \choose n}}$ si ${\displaystyle n\neq 2^{k}}$, il suffit de considérer le cas des puissances de ${\displaystyle 2}$.

En 1985, András Sárközy montre en outre que

${\displaystyle \ln s(n)\approx \left({\sqrt {2}}-2\right)\zeta \left({\frac {1}{2}}\right){\sqrt {n}}}$

où ${\displaystyle \zeta }$ désigne la fonction zêta de Riemann et ${\displaystyle s(n)}$ la partie carrée de ${\displaystyle n}$, c'est-à-dire son plus grand diviseur carré.

La borne supérieure ${\displaystyle 2^{8\,000}}$ est donnée par Andrew Granville et Olivier Ramaré pour ${\displaystyle n_{0}}$ (1996). En conjonction avec une vérification antérieure de la conjecture d'Erdős pour ${\displaystyle 4<n<2^{774\,840\,978}}$, la démonstration est complète.