Théorème de Yan

Soient:

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ un espace de probabilité.

${\displaystyle B_{+}}$ l'espace des variables aléatoires non négatives et bornées.

${\displaystyle I_{A}}$ une fonction caractéristique de ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$.

${\displaystyle 1\leq p<+\infty }$ et ${\displaystyle K\subseteq L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ un sous-ensemble convexe avec ${\displaystyle 0\in K}$.

${\displaystyle q}$ est l'exposant conjugué de ${\displaystyle p}$, c'est ${\displaystyle q^{-1}:=1-p^{-1}}$.

${\displaystyle K-B_{+}:=\{f-g:f\in K,\;g\in B_{+}\}}$.

Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :

1. Pour tout ${\displaystyle f\in L_{+}^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ avec ${\displaystyle f\neq 0}$ il existe une constante ${\displaystyle c>0}$ de sorte que ${\displaystyle cf\not \in {\overline {K-B_{+}}}}$.
2. Pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ avec ${\displaystyle P(A)>0}$ il existe une constante ${\displaystyle c>0}$ telle que ${\displaystyle cI_{A}\not \in {\overline {K-B_{+}}}}$.
3. Il existe une variable aléatoire ${\displaystyle Z\in L^{q}}$ telle que ${\displaystyle Z>0}$ presque sûrement et

${\displaystyle \sup \limits _{Y\in K}\mathbb {E} [ZY]<+\infty }$.

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