Théorème de décomposition de Milnor
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Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le théorème de décomposition de Milnor, appelé aussi théorème de décomposition des 3-variétés, ou théorème de Kneser-Milnor, affirme que toute variété compacte et orientable de dimension 3 est la somme connexe d'un ensemble unique de variétés indécomposables (en).
On dit qu'une variété P est indécomposable[1] si elle n'est pas une sphère, et ne peut se décomposer en somme connexe de façon non triviale, c'est-à-dire si P = P1♯P2 implique que P1 ou P2 est homéomorphe à une sphère. Le théorème de décomposition affirme alors que
Théorème — Toute variété de dimension 3 compacte et orientable autre que la sphère S3 se décompose de manière unique en somme connexe de variétés indécomposables.
Si P est une variété indécomposable de dimension 3, c'est soit le produit S2 × S1, soit le fibré non orientable de fibre S2 au-dessus de S1, soit une variété irréductible, c'est-à-dire qu'une 2-sphère plongée dans P y borde une boule plongée. On peut donc aussi énoncer le théorème en disant que toute variété compacte orientable de dimension 3 se décompose en une somme de variétés irréductibles et de variétés S2 × S1. Le théorème se généralise aux variétés non orientables, mais l'unicité doit être légèrement modifiée : les composantes sont à présent des variétés irréductibles, ou des fibrés non orientables, de fibre S2 au-dessus de S1.
