Théorème de la trace de Grothendieck

Étant donné un espace de Banach ${\displaystyle (B,\|\cdot \|)}$ avec la propriété d'approximation et dénotons son espace dual comme ${\displaystyle B'}$ .

Soit ${\displaystyle A}$ un opérateur nucléaire sur ${\displaystyle B}$, alors ${\displaystyle A}$ est un ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$-opérateur nucléaire s'il a une décomposition de la forme

${\displaystyle A=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}\otimes f_{k}}$

avec ${\displaystyle \varphi _{k}\in B}$ et ${\displaystyle f_{k}\in B'}$ et

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }\|\varphi _{k}\|^{2/3}\|f_{k}\|^{2/3}<\infty .}$

Soit ${\displaystyle A}$ un ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$-opérateur nucléaire et ${\displaystyle \lambda _{j}(A)}$ les valeurs propres de ${\displaystyle A}$ comptées avec leurs multiplicités algébriques. Si

${\displaystyle \sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|<\infty }$

alors les égalités suivantes sont vérifiées:

${\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|}$

et pour la déterminant de Fredholm

${\displaystyle \operatorname {det} (I+A)=\prod \limits _{j}(1+\lambda _{j}(A)).}$

• (en) Israel Gohberg, Seymour Goldberg et Nahum Krupnik, Traces and Determinants of Linear Operators, Birkhäuser, coll. « Operator Theory Advances and Applications », 1991 (ISBN 978-3-7643 -6177-8), p. 102.

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