Théorème de prolongement de Tietze
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En mathématiques, le théorème de prolongement de Tietze encore appelé de Tietze-Urysohn est un résultat de topologie. Ce théorème indique qu'une fonction continue à valeurs réelles définie sur un fermé d'un espace topologique normal se prolonge continument sur tout l'espace. Le théorème s'applique donc en particulier aux espaces métriques ou compacts. Ce résultat généralise le lemme d'Urysohn.
Ce théorème possède de multiples usages en topologie algébrique. Il permet, par exemple de démontrer le théorème de Jordan, indiquant qu'un lacet simple divise l'espace en deux composantes connexes[1].
Une première version du théorème est l'œuvre du mathématicien Heinrich Tietze (1880 - 1964) pour les espaces métriques[2], et a été généralisée par Pavel Urysohn (1898 - 1924) aux espaces normaux[3].
Théorème — Soit X un espace topologique séparé, les trois propositions suivantes sont équivalentes[4] :
- (i) X est un espace normal ;
- (ii) pour tout fermé A de X et toute application continue f de A dans l'espace ℝ des nombres réels, il existe une application continue de X dans ℝ qui prolonge f, c'est-à-dire dont la restriction à A est égale à f ;
- (iii) pour tout fermé A de X et toute application continue f de A dans un segment réel [–M, M], il existe une application continue de X dans [–M, M] qui prolonge f.
Dans (ii), l'espace ℝ peut évidemment être remplacé par n'importe quel espace homéomorphe, comme un intervalle ouvert non vide ]–M, M[. De même, dans (iii), [–M, M] peut être remplacé par n'importe quel segment réel, comme le segment [0, 1].
On verra au cours de la preuve que l'hypothèse de séparation est en fait inutile. Un espace est dit normal s'il est à la fois T4 et séparé or, d'après le lemme d'Urysohn, un espace X (séparé ou pas) vérifie T4 si et seulement si, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue de X dans [0, 1] qui vaut 1 sur F et 0 sur G. On va en déduire les équivalences : (ii) ⇔ (iii) ⇔ T4.
