Soit r et s deux droites ultraparallèles. Prenant deux points distincts A et C sur s, on appelle B et B' leurs projections orthogonales sur r.
Si AB = CB', par symétrie, la droite des milieux de AC et BB' est la perpendiculaire commune cherchée.
Sinon, on peut supposer que AB < CB' . Soit E un point de s tel que A soit entre E et C. On prend A' sur CB' tel que A'B' = AB. Partant de A', on trace une demi-droite s' du côté de E, telle que l'angle B'A'E' soit égal à l'angle BAE. s' et s se coupent en un point (ordinaire) D'. On prend D sur la demi-droite AE tel que AD = A'D'. On a D' ≠ D, les deux points sont sur s et à la même distance de r, donc la médiatrice de DD' est la perpendiculaire commune cherchée[1]. L'unicité de la perpendiculaire résulte de ce qu'il est impossible de construire un rectangle en géométrie hyperbolique. D'autre part, si r et s étaient parallèles asymptotes, la construction échouerait, parce que les droites s' et s seraient également parallèles asymptotes.
