Théorème du consensus

Le théorème du consensus ou la règle du consensus est l'identité :

${\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z\vee yz=xy\vee {\bar {x}}z}$

Dans la simplification de formules booléennes, on réduit la partie gauche en la partie droite par la règle :

${\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z\vee yz\rightarrow xy\vee {\overline {x}}z}$.

Le terme ${\displaystyle yz}$ est appelé le consensus ou résolvant des termes ${\displaystyle xy}$ et ${\displaystyle {\overline {x}}z}$. Le consensus de deux conjonctions de littéraux est la conjonction obtenue à partir de tous les littéraux figurant dans celles-ci, en éliminant l'un d'entre eux qui apparaît à la fois sous forme niée dans l'une et non niée dans l'autre. Dans l'identité indiquée, si x est un littéral, et si y et z représentent des conjonctions de littéraux, le consensus de ${\displaystyle xy}$ et de ${\displaystyle {\bar {x}}z}$ est donc bien ${\displaystyle yz}$.

L'identité duale est :

${\displaystyle (x\vee y)({\bar {x}}\vee z)(y\vee z)=(x\vee y)({\bar {x}}\vee z)}$

Le résolvant ${\displaystyle (y\vee z)}$ se déduit des deux disjonctions ${\displaystyle (x\vee y)}$ et ${\displaystyle ({\bar {x}}\vee z)}$ par la règle dite de coupure ou de résolution, d'où la simplification.

L'identité peut être vérifiée par sa table de vérité (donnée ci-dessus). On peut également la démontrer à partir des axiomes d'algèbre de Boole :

${\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z\vee yz}$

= ${\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z\vee (x\vee {\bar {x}})yz}$ (neutre et complément)

= ${\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z\vee xyz\vee {\bar {x}}yz}$ (distributivité)

= ${\displaystyle xy\vee xyz\vee {\bar {x}}z\vee {\bar {x}}yz}$ (associativité et commutativité)

= ${\displaystyle xy\vee {\bar {x}}z}$ (absorption, deux fois)

Le consensus de deux conjonctions de littéraux est une disjonction, cette disjonction contient comme premier membre l'une des conjonctions à laquelle est ajoutée un littéral ${\displaystyle a}$ et comme deuxième membre l'autre conjonction à laquelle est ajoutée l'opposé du littéral, à savoir ${\displaystyle {\bar {a}}}$. La réduction du consensus est la conjonction des deux termes, sans les littéraux ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle {\bar {a}}}$ et sans les répétitions de littéraux. Par exemple, si le consensus est ${\displaystyle v{\bar {x}}yz\vee vw{\bar {y}}z}$, sa réduction est ${\displaystyle vw{\bar {x}}z}$^[3].

En simplification des expressions booléennes, l'application répétitive de la règle de consensus est au cœur du calcul de la forme canonique de Blake (en)^[3].

En conception de circuits digitaux, la simplification par consensus d'un circuit élimine les risques de compétition^[4].