Théorème du papillon

La démonstration de ce théorème était demandée dans un problème posé en 1803 par le mathématicien écossais William Wallace dans le Gentleman's Mathematical Companion. Trois solutions ont été donnée en 1804 et 1805^[1]. Actuellement, on dispose d'au moins une vingtaine de démonstrations différentes^[2].

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Les notations sont celles de la figure et correspondent à l'énoncé ci-dessus.

On nomme ${\displaystyle X_{1}}$ le pied de la hauteur issue de ${\displaystyle X}$ dans le triangle ${\displaystyle AXM}$. De même on nomme ${\displaystyle X_{2}}$ pied de la hauteur issue de ${\displaystyle X}$ dans le triangle ${\displaystyle DXM}$, ${\displaystyle Y_{1}}$ pied de la hauteur issue de ${\displaystyle Y}$ dans le triangle ${\displaystyle BYM}$ et ${\displaystyle Y_{2}}$ pied de la hauteur issue de ${\displaystyle Y}$ dans le triangle ${\displaystyle CYM}$.

On remarque alors que les triangles ${\displaystyle MXX_{1}}$ et ${\displaystyle MYY_{1}}$ sont semblables car ${\displaystyle {\widehat {MX_{1}X}}={\widehat {MY_{1}Y}}}$ (ce sont des angles droits) et ${\displaystyle {\widehat {X_{1}MX}}={\widehat {Y_{1}MY}}}$ car ils sont opposés par le sommet ; d'où : ${\displaystyle {\frac {MX}{XX_{1}}}={\frac {MY}{YY_{1}}}}$.

De même ${\displaystyle MXX_{2}}$ est semblable à ${\displaystyle MYY_{2}}$ et ${\displaystyle {\frac {MX}{XX_{2}}}={\frac {MY}{YY_{2}}}}$.

On procède de la même manière pour les triangles semblables ${\displaystyle AXX_{1}}$ et ${\displaystyle CYY_{2}}$ sachant que ${\displaystyle {\widehat {XAX_{1}}}={\widehat {YCY_{2}}}}$ car ces angles interceptent le même arc (voir Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre) ; d'où : ${\displaystyle {\frac {AX}{XX_{1}}}={\frac {CY}{YY_{2}}}}$.

De même ${\displaystyle DXX_{2}}$ est semblable à ${\displaystyle BYY_{1}}$ et ${\displaystyle {\frac {DX}{XX_{2}}}={\frac {BY}{YY_{1}}}}$.

On a donc :

${\displaystyle \left({\frac {MX}{MY}}\right)^{2}={\frac {XX_{1}}{YY_{1}}}\cdot {\frac {XX_{2}}{YY_{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {AX\cdot DX}{CY\cdot BY}}}$

${\displaystyle ={\frac {PX\cdot QX}{PY\cdot QY}}}$ (voir Puissance d'un point par rapport à un cercle)

${\displaystyle ={\frac {(PM-MX)(QM+MX)}{(PM+MY)(QM-MY)}}}$

${\displaystyle ={\frac {PM^{2}-MX^{2}}{PM^{2}-MY^{2}}}}$ car ${\displaystyle PM=QM}$.

Ainsi ${\displaystyle MX^{2}=MY^{2}}$ et, comme ce sont des longueurs, ${\displaystyle MX=MY}$.

Ainsi, ${\displaystyle M}$ est bien le milieu du segment ${\displaystyle [XY]}$.