Théorème du redressement

Selon le contexte, le théorème prend une forme différente. Une première version se formalise de la manière suivante. Soit E un espace de Banach réel, Ω un ouvert de E, X une application de classe C¹ de Ω dans E et p₀ un point de Ω tel que X(p₀) ne soit pas le vecteur nul.

Ce théorème possède un équivalent pour les variétés différentielles :

• Théorème du redressement d'un champ de vecteurs dans une variété^[2] : Soit M une variété de dimension n et de classe C^k, où k est un entier strictement positif ou l'infini, et X un champ de vecteurs contenant un point p₀ de M. Si X(p₀) est un vecteur non nul, il existe une carte locale φ définie sur un ouvert V de Rⁿ tel que l'image de V par cette carte soit un ouvert U de M contenant p₀ et tel que l'image du champ de vecteur X par φ sur Rⁿ vérifie :${\displaystyle \varphi _{*}X={\frac {\partial }{\partial x_{1}}};}$
• Théorème des boites à flot^[3] : Soit U un ouvert contenant p₀ et inclus dans Ω. Il existe S une section transverse à X en p₀ inclus dans un hyperplan affine de direction H, un réel strictement positif σ et un difféomorphisme f défini sur un ouvert V, inclus dans U, et à valeurs dans S×]–σ, σ[, qui envoie S dans H×{0} et tel que le flot α(t, p) défini par X vérifie :${\displaystyle \forall (t,p)\in ]-\sigma ,\sigma [\times S\quad {\frac {\partial {f\circ \alpha }}{\partial t}}(t,p)=(0,1)\quad {\text{et}}\quad f\circ \alpha (0,p)=p.}$

Quelques symboles et termes nécessitent une explication. Le premier énoncé utilise le signe * dans une composition d'une fonction f et d'un champ de vecteurs X. Ici f est une application de V dans un ouvert inclus dans Ω. L'application qui à x associe X(f(x)) est bien définie sur X. Comme l'application f est un difféomorphisme, elle admet une différentielle au point x et cette différentielle est inversible, ce qui donne un sens à la définition suivante :

${\displaystyle \forall x\in V\quad f^{*}X(x)=(Df_{x})^{-1}\cdot X(f(x)).}$

Pour éviter une débauche de parenthèses, ici l'image d'un vecteur v par une application linéaire a est notée a.v.

L'équation différentielle x' = X(x) admet toujours une unique solution s vérifiant s(0) = p^{[Note 1]}. La fonction qui à (t, p) associe α(t, p) définie comme la valeur de l'équation différentielle vérifiant la condition de Cauchy précédente est une fonction continue appelée flot. Si X est de classe C^k, alors le flot est aussi de classe C^{k[Note 2]}.

Un hyperplan H_a affine, de direction H contenant p₀ est dit transverse à X en p₀ si la somme directe de H et de R.X(p₀) est égal à E. Une section transverse à X est un ouvert S de H tel que l'hyperplan H_a soit transverse à X en tout point p de S. Si H_a est transverse à X en p₀, une section transverse contenant p₀ existe toujours. En effet, la composée de la projection sur R.X(p₀) parallèlement à H du champ X est non nulle en p₀ et est continue. Il existe un ouvert de p₀ sur lequel cette projection est supérieur à un nombre réel strictement positif. L'intersection de ce voisinage et de H_a, est une section transverse à X contenant p₀.

Ce théorème indique que localement et à un difféomorphisme près, on peut toujours considérer un champ de vecteurs comme constant. Le théorème redresse le champ à l'image de la figure de gauche. Un champ de classe C¹ est à l'image de la figure rouge et jaune, il est possible de lui appliquer un difféomorphisme à travers la loi de composition * qui lui donne l'apparence du champ bleu et jaune au-dessous.

Une autre forme indique la possibilité de construire une boîte à flot. Dans le monde redressé, la boîte à flot ressemble à une boîte de conserve contenant en son milieu le point p₀. La base circulaire correspond à la section et le flot traverse la boite de sa base à son sommet à travers les trajectoires rectilignes uniformes et verticales. Ainsi, le flot n'entre que par la base et ne sort que par le sommet, la paroi verticale est parallèle au flot et n'est pas traversée par lui. Dans le monde original, la boîte à flot est déformée par le difféomorphisme, mais garde cette propriété, la base reçoit le flot entrant, le sommet le flot sortant et la paroi reste parallèle au flot, à l'image de la figure de droite. Une telle boîte permet un contrôle du flux au voisinage de p₀.

Un exemple d'usage d'une boîte à flot est la démonstration du théorème de Poincaré-Bendixson. Une telle boîte permet le contrôle de la trajectoire aux alentours d'un point bien choisi. À l'aide du théorème de Jordan, elle permet d'établir l'impossibilité d'une configuration chaotique si E est un plan, si l'équation différentielle est autonome dans une zone compacte de Ω invariante par le flot.