Théorèmes de Joachimsthal

Par souci de clarté et sans perte de généralité, on se place dans le repère centré en O et dont les axes sont confondus avec les axes de l'ellipse. Dans ce repère, un paramétrage de l'ellipse est de la forme :

${\displaystyle {\begin{cases}x&=a\cos(\theta )\\y&=b\sin(\theta )\end{cases}}}$

et le cercle a une équation cartésienne de la forme ${\textstyle x^{2}+y^{2}-2\alpha x-2\beta y+\gamma =0.}$

Ainsi, un point M est un point d'intersection ssi :

${\displaystyle \exists \theta ,a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )-2\alpha a\cos(\theta )-2\beta b\sin(\theta )+\gamma }$

${\displaystyle \exists \theta ,(a^{2}-b^{2})\mathrm {e} ^{4{\mathrm {i} }\theta }+4(-\alpha a+\mathrm {i} \beta b)\mathrm {e} ^{3{\mathrm {i} }\theta }+(4\gamma +2a^{2}+2b^{2})\mathrm {e} ^{2{\mathrm {i} }\theta }-4(\alpha a+\mathrm {i} \beta b)\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta }+(a^{2}-b^{2})=0}$

C'est un polynôme de degré 4, et les quatre racines ${\displaystyle \mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{1}},\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{2}},\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{3}},\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{4}}}$ vérifient : $${\displaystyle \mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})}=\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{1}}\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{2}}\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{3}}\mathrm {e} ^{{\mathrm {i} }\theta _{4}}={\frac {(a^{2}-b^{2})}{(a^{2}-b^{2})}}=1\Longleftrightarrow \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}\equiv 0\mod 2\pi }$$