Tourbillon de Kerr–Dold

L'écoulement au point d'arrêt, qui est déjà une solution exacte de l'équation de Navier–Stokes, est donné par ${\displaystyle \mathbf {U} =(0,-Ay,Az)}$, où ${\displaystyle A}$ est le taux de déformation. À cet écoulement, on peut ajouter une perturbation périodique supplémentaire de telle sorte que le nouveau champ de vitesse puisse s'écrire comme :

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}0\\-Ay\\Az\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\\0\end{bmatrix}}}$

où les composantes ${\displaystyle u(x,y)}$ et ${\displaystyle v(x,y)}$ de la vitesse du tourbillon sont supposées périodiques dans la direction ${\displaystyle x}$ avec un nombre d'onde fondamental ${\displaystyle k}$. Kerr et Dold ont montré que de telles perturbations existent avec une amplitude finie et sont une solution exacte des équations de Navier–Stokes. En introduisant une fonction de courant ${\displaystyle \psi }$ pour la vitesse du tourbillon on peut montrer que les équations des perturbations dans la formulation de la fonction de vorticité se réduisent à :

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &=-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi \\[6pt]{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \omega }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \omega }{\partial y}}&-Ay{\frac {\partial \omega }{\partial y}}-A\omega =\nu \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\omega \end{aligned}}}$

où ${\displaystyle \omega }$ est la perturbation de vorticité. Un seul paramètre peut être obtenu par adimensionnement :

${\displaystyle \lambda ={\frac {A}{\nu k^{2}}}}$

Il mesure l'effet de la dissipation visqueuse. La solution sera supposée être de la forme :

${\displaystyle \psi =\sum _{k=-\infty }^{\infty }[a_{k}(y)+ib_{k}(y)]e^{-ikx}.}$

Puisque ${\displaystyle \psi }$ est réel, il est facile de vérifier que ${\displaystyle a_{k}=a_{-k},\,b_{k}=-b_{-k},\,b_{0}=0.}$ La structure tourbillonnaire attendue ayant la symétrie exprimée par ${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (-x,-y),\,\psi (x,y)=-\psi (\pi -x,y)}$ on as ${\displaystyle a_{0}=b_{1}=0}$. Par substitution, on obtient une suite infinie d'équations différentielles non linéaires couplées. Pour dériver les équations suivantes la règle du produit de Cauchy est utilisée. Les équations sont^[5],[6].

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{k}''''+Aya_{k}'''+(A-2k^{2})a_{k}''-k^{2}Aya_{k}'-k^{2}Aa_{k}+k^{4}a_{k}\\&{}+i\left[b_{k}''''+Ayb_{k}'''+(A-2k^{2})b_{k}''-k^{2}Ayb_{k}'-k^{2}Ab_{k}+k^{4}b_{k}\right]\\={}&i\sum _{\ell =-\infty }^{\infty }\left\{\left(a_{k-\ell }'+ib_{k-\ell }'\right)\left[\ell a_{\ell }''-\ell ^{3}a_{\ell }+i(\ell b_{\ell }''-\ell ^{3}b_{\ell })\right]-(k-\ell )\left(a_{k-\ell }+ib_{k-\ell }\right)\left[a_{\ell }'''-\ell ^{2}a_{\ell }'+i(b_{\ell }'''-\ell ^{2}b_{\ell }')\right]\right\}.\end{aligned}}}$

Les conditions aux limites sont :

${\displaystyle a_{k}'(0)=b_{k}(0)=a_{k}(\infty )=b_{k}(\infty )=0}$

La condition de symétrie suffit à résoudre le problème. On peut montrer qu'une solution non triviale n'existe que lorsque ${\displaystyle \lambda >1.}$ En résolvant cette équation numériquement on vérifie que conserver les 7 à 8 premiers termes suffit à produire des résultats précis^[7]. La solution lorsque ${\displaystyle \lambda =1}$ est ${\displaystyle \psi =\cos x}$ a été découverte par Alex Craik et William Criminale en 1986^[8].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kerr–Dold vortex » (voir la liste des auteurs).

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