Tourbillon de Taylor-Green

Dans un système cartésien plan les équations de Navier-Stokes incompressibles à viscosité constante s'écrivent de la façon suivante :

• équation de continuité

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0}$

• équations de conservation de la quantité de mouvement

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right).}$

où :

• ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ sont les composantes de la vitesse suivant x et y, respectivement ;
• ${\displaystyle t}$ est le temps ;
• ${\displaystyle \nu }$ est la viscosité cinématique ;
• ${\displaystyle p}$ est la pression ;
• ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique.

On peut vérifier que la solution suivante, définie dans un domaine de dimension ${\displaystyle L}$ arbitraire, de période égale à ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle u=\cos {\frac {x}{L}}\sin {\frac {y}{L}}\,e^{-{\frac {2\nu }{L^{2}}}t}}$

${\displaystyle v=-\sin {\frac {x}{L}}\cos {\frac {y}{L}}\,e^{-{\frac {2\nu }{L^{2}}}t}}$

vérifie la conservation de la masse.

En portant dans l'équation de quantité de mouvement on calcule la pression

${\displaystyle p=-{\frac {\rho }{4}}\left(\cos {\frac {2x}{L}}+\cos {\frac {2y}{L}}\right)e^{-{\frac {4\nu }{L^{2}}}t}}$

Les temps caractéristiques d'amortissement sont donc ${\displaystyle {\frac {L^{2}}{2\nu }}}$ pour la vitesse et ${\displaystyle {\frac {L^{2}}{4\nu }}}$ pour la pression.

Le tourbillon de Taylor-Green est spécifique car au sein de l'équation de conservation de la quantité de mouvement, la convection et le gradient de pression sont en équilibre, tout comme la variation temporelle et la diffusion. Ce type d'écoulement est instable et tend à créer des plus petites échelles^[2]. Il sert de condition initiale pour les études de transition vers la turbulence^[3].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Taylor–Green vortex » (voir la liste des auteurs).

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