Transformation complexe

• Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.

• Dérivation

On dérive le nombre complexe image :

${\displaystyle {\underline {G}}=\ G\cdot {\rm {e}}^{j(\omega t+\varphi )}\,}$,

on obtient :

${\displaystyle \omega \cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j\left(\omega t+\varphi +{\frac {\pi }{2}}\right)}\,}$ ou encore ${\displaystyle j\omega \cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j(\omega t+\varphi )}\,}$

• Intégration

On intègre le nombre complexe image et on obtient :

${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}\cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j\left(\omega t+\varphi -{\frac {\pi }{2}}\right)}\,}$, ou encore ${\displaystyle {\frac {1}{j\omega }}\cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j(\omega t+\varphi )}\,}$

Dans un circuit en régime permanent sinusoïdal composé de composants linéaires, un courant ou une tension est une fonction g(t) du type :

${\displaystyle g(t)={\widehat {G}}\cdot \cos(\omega t+\varphi )\,}$,

On note ${\displaystyle {\underline {g}}}$ un nombre complexe associé à g(t) égal à :

${\displaystyle {\underline {g}}=\ G\cdot e^{j\varphi }\cdot {\rm {e}}^{j\omega t}}$

• ${\displaystyle |{\underline {g}}|}$ est égal à la valeur efficace de g,
• ${\displaystyle \operatorname {arg} ({\underline {g}})}$ est égale à la phase totale de g (incluant le ω t).

Le terme ${\displaystyle \ G\cdot {\rm {e}}^{j\varphi }}$ est appelée amplitude complexe^[1] de s car elle caractérise le signal tandis que le terme e^{j ω t} est commun à tous les signaux du circuit. On remarque que ${\displaystyle g(t)=\Re ({\underline {g}})}$. ${\displaystyle {\underline {g}}}$ est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de ${\displaystyle g(t)}$. Ce sont donc les amplitudes complexes qui sont recherchées pour décrire un circuit en régime sinusoïdal. La notation sous forme exponentielle permet d'éviter l'utilisation de formules trigonométriques et elle est à mettre en liens avec l'impédance complexe.

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