Transformation d'Aluthge

Soient ${\displaystyle T\in B(H)}$, ${\displaystyle T^{*}}$ son opérateur adjoint et ${\displaystyle |T|}$ la racine carrée de l'opérateur ${\displaystyle T^{*}T}$. Il existe une unique isométrie partielle ${\displaystyle U}$ telle que ${\displaystyle T=U|T|}$ et ${\displaystyle \ker(U)\supset \ker(T)}$.

Soient ${\displaystyle T\in B(H)}$ et ${\displaystyle T=U|T|}$ sa décomposition polaire. La transformation d'Aluthge de ${\displaystyle T}$ est l'opérateur ${\displaystyle \Delta (T)}$ défini par :

${\displaystyle \Delta (T)=|T|^{\frac {1}{2}}U|T|^{\frac {1}{2}}}$.

Plus généralement, pour tout nombre réel ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$, on appelle ${\displaystyle \lambda }$-transformation d'Aluthge de ${\displaystyle T}$ l'opérateur ${\displaystyle \Delta _{\lambda }(T):=|T|^{\lambda }U|T|^{1-\lambda }\in B(H)}$.