Triangle d'or (géométrie)

Angles

Dans la 2^e figure, BXC est un triangle d'or puisque le rapport de la longueur du côté BC à la longueur du côté BX est le nombre d'or ${\displaystyle \varphi }$ :

• L'angle BCX au sommet C a pour mesure^[3] :

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\bigl (}{\tfrac {b}{2a}}{\bigr )}=2\arcsin {\bigl (}{\tfrac {1}{2\varphi }}{\bigr )}=2\arcsin {\Bigl (}{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}}{\Bigr )}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }.}$

• Comme la somme des mesures des angles du triangle BXC fait ${\displaystyle \pi ~rad}$, les angles de base CBX et CXB valent chacun :

${\displaystyle \beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}={2\pi \over 5}~rad=72^{\circ }}$^[1] (ou encore ${\displaystyle \beta =\arccos {\Bigl (}{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}}{\Bigr )}={2\pi \over 5}~rad=72^{\circ }}$).

• Le triangle d'or est un triangle aigu puisque tous ses angles sont inférieurs à l'angle droit.
• Le triangle d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 2, 2, 1 (72°, 72°, 36°)^[4].

Hauteur

La hauteur est donné par ${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}={\frac {b}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$.

Aire

L'aire est donnée par ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh={\frac {b^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}={\frac {a^{2}}{8}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}$

Angles du gnomon d'or

Dans la 2^e figure, les longueurs AX et CX valant ${\displaystyle a'=a=\varphi ~}$ et la longueur AC valant ${\displaystyle b'=\varphi ^{2}}$, AXC est un gnomon d'or^[5].

• L'angle AXC au sommet X a pour mesure :

${\displaystyle \theta '=2\arcsin {\Bigl (}{\tfrac {b'}{2a'}}{\Bigr )}=2\arcsin {\Bigl (}{\tfrac {\varphi ^{2}}{2\varphi }}{\Bigr )}=2\arcsin {\Bigl (}{\varphi \over 2}{\Bigr )}=2\arcsin {\Bigl (}{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{4}}{\Bigr )}={3\pi \over 5}~rad=108^{\circ }}$

(ou encore ${\displaystyle \theta '=\arccos {\Bigl (}{{1-{\sqrt {5}}} \over 4}{\Bigr )}={3\pi \over 5}~rad=108^{\circ }}$).

• Comme la somme des mesures des angles du triangle AXC fait ${\displaystyle \pi ~rad}$, les angles de base CAX et ACX valent chacun :

${\displaystyle \beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }}$ (ou encore ${\displaystyle \beta '=\theta =\arccos {\Bigl (}{{1+{\sqrt {5}}} \over 4}{\Bigr )}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }}$).

• Le gnomon d'or est un triangle obtus puisqu'il possède un angle obtus et deux angles aigus.
• Le gnomon d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 1, 1, 3 (36°, 36°, 108°).

Hauteur

La hauteur est donné par ${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}={\frac {b}{2}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}$.

Aire

L'aire est donnée par ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh={\frac {b^{2}}{4}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}={\frac {a^{2}}{8}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$

Découpages

La figure ci-contre montre que :

• En coupant un de ses angles de base en 2 angles égaux, on peut découper un triangle d'or en un triangle d'or et un gnomon d'or.
• En coupant son angle au sommet en 2 angles du simple au double, on peut découper un gnomon d'or en un gnomon d'or et un triangle d'or.

Pavages

• On peut paver un pentagone régulier avec deux gnomons d'or et un triangle d'or^[6] (voir figure ci-contre).
• Ces triangles isocèles peuvent être utilisés pour produire les pavages de Penrose.