Spirale logarithmique

Une spirale logarithmique a une équation polaire de la forme : ${\displaystyle r=ab^{\theta }}$ avec a , b deux réels positifs (b différent de 1) ou r = a e^{m θ} avec m réel non nul. Elle possède pour équation paramétrée : ${\displaystyle {\begin{cases}x=ab^{\theta }\cos \theta \\y=ab^{\theta }\sin \theta .\end{cases}}}$

La tangente à la courbe au point M fait avec la droite (OM) un angle constant α vérifiant la propriété suivante^[3] : ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {1}{\ln b}}}$ où ln b représente le logarithme népérien de b.

Cette propriété est caractéristique des spirales logarithmiques^[3] qui sont de ce fait souvent appelées spirales équiangles.

Un calcul montre^[3] que la longueur de l'arc entre l'origine O et le point M de la spirale est proportionnelle à OM. Le coefficient de proportionnalité est égal à la racine carrée de 1 + 1/ln²b. Si α est l'angle selon lequel la spirale coupe les rayons, ce coefficient de proportionnalité est donc égal à 1/cos α.

De cette propriété se déduit le phénomène suivant^[3] : si l'on fait rouler une spirale logarithmique sur sa tangente, le centre de la spirale se déplace sur une droite.

L'aire balayée^[5] par le rayon OM du point M jusqu'au centre de la spirale est proportionnelle au carré du rayon OM. Ce coefficient de proportionnalité est de 1/(4 lnb), soit encore (tan α)/4.

On peut aussi démontrer que le rayon de courbure R est directement proportionnel à r selon la loi suivante :

${\displaystyle R={\frac {r}{\sin \alpha }}}$.

Il est alors facile de trouver le centre du cercle osculateur passant « au plus près » de la spirale au point M. Il suffit de tracer la perpendiculaire à la tangente en M ainsi que la perpendiculaire à (OM) passant par O. Les deux perpendiculaires se coupent en C, centre du cercle osculateur.

Une rotation de la spirale autour de O d'un angle θ₀ équivaut à une homothétie de centre O et de rapport b^−θ₀. On peut donc remarquer que la spirale logarithmique est invariante par similitude d'angle θ₀ et de rapport b^−θ₀.

La développée d'une spirale logarithme, c'est-à-dire l'ensemble des centres de courbure, ou l'enveloppe des normales à la courbe est une spirale logarithmique de même nature, ayant subi une rotation. Réciproquement la courbe développante d'une spirale logarithmique est encore une spirale logarithmique de même type.

La podaire d'une spirale logarithmique par rapport à son centre, c'est-à-dire le lieu des projetés de O sur les tangentes à la spirale, est encore une spirale logarithmique de même type. Comme la courbe orthotomique par rapport à O d'une courbe est l'image de la podaire correspondante dans l'homothétie de centre O et de rapport 2, la courbe orthotomique d'une spirale logarithmique est encore une spirale logarithmique de même type. Enfin, comme la caustique par rapport à O d'une courbe est la développée de l'orthotomique, la caustique d'une spirale logarithmique est encore une spirale logarithmique de même type.

Michel Chasles définit les spirales comme les projetés de la courbe obtenue comme intersection d'une hélicoïde et d'une surface de révolution de même axe. La projection se fait orthogonalement à cet axe. Dans le cas de la spirale logarithmique, la surface de révolution est une courbe logarithmique tournant autour de son asymptote^[6]. En effet, en coordonnées cylindriques (r , θ , z), l'hélicoïde a pour équation : ${\displaystyle z=k\theta +\varphi }$, et la surface de révolution engendrée par la courbe logarithmique a pour équation : ${\displaystyle z=\ln r}$, leur intersection se projette sur le plan de base en la courbe d'équation : ${\displaystyle \ln(r)=k\theta +\varphi }$, que l'on peut traduire, si k = ln b et φ = ln a, en : ${\displaystyle r=ab^{\theta }}$. Halley est le premier à mettre en évidence que la spirale logarithmique est la projection stéréographique d'une courbe loxodromique^[7].

• Logarithme
• Spirale logarithmique de Newton
• Triangle d'or (géométrie)
• Spirale d'or

• Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, M. Hayez, 1837 (lire en ligne)
• Robert Ferréol, « Spirale logarithmique », sur mathcurve.com

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