Triangle de Hosoya

Le triangle de Hosoya (dénommé aussi triangle de Fibonacci comme dans A058071) est un tableau triangulaire de nombres (similaire au triangle de Pascal) basé sur la suite de Fibonacci. Le triangle étant présenté sous forme pyramidale, chaque nombre est la somme des deux nombres des deux lignes précédentes, pris dans la diagonale gauche, ou dans la diagonale droite^[1].

Le triangle est répertorié comme suite A058071 de l'OEIS.

{\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\2\quad 1\quad 2\\3\quad 2\quad 2\quad 3\\5\quad 3\quad 4\quad 3\quad 5\\8\quad 5\quad 6\quad 6\quad 5\quad 8\\13\quad 8\quad 10\quad 9\quad 10\quad 8\quad 13\\21\quad 13\quad 16\quad 15\quad 15\quad 16\quad 13\quad 21\\34\quad 21\quad 26\quad 24\quad 25\quad 24\quad 26\quad 21\quad 34\\55\quad 34\quad 42\quad 39\quad 40\quad 40\quad 39\quad 42\quad 34\quad 55\\89\quad 55\quad 68\quad 63\quad 65\quad 64\quad 65\quad 63\quad 68\quad 55\quad 89\\\end{array}}

Appellation

L'appellation « triangle de Fibonacci » est ambigüe car elle a également été utilisée pour d'autres triangles faisant apparaitre les nombres de Fibonacci, comme le triangle fibonomial^[2], ou des triangles géométriques d'aire entière dont les côtés ont pour longueur des nombres de Fibonacci^[3]^,^[4].

Définition par récurrence

Les termes de ce triangle peuvent être définis par récurrence par les relations :

H_{0,0}=H_{1,0}=H_{1,1}=H_{2,1}=1

et

{\begin{aligned}H_{n,k}&=H_{n-1,k}+H_{n-2,k}{\text{ pour }}0\leqslant k\leqslant n-2\\&=H_{n-1,k-1}+H_{n-2,k-2}{\text{ pour }}n-1\leqslant k\leqslant n.\\\end{aligned}}

Expression exacte

Les termes du triangle ont pour valeur :

H_{n,k}=F_{k+1}\cdot F_{n-k+1}

où $(F_{n})$ est la suite de Fibonacci.

Démonstration

De $H_{n,k}=H_{n-1,k-1}+H_{n-2,k-2}{\text{ pour }}n-1\leqslant k\leqslant n$ on déduit $H_{n,n}=F_{n+1}$ et $H_{n,n-1}=F_{n}$ .

De $H_{k+m,k}=H_{k+m-1,k}+H_{k+m-2,k}$ et $H_{k+0,k}=H_{k+1,k}=F_{k+1}$ on déduit $H_{k+m,k}=F_{k+1}F_{m+1}$ .

En posant $n=k+m$ , on obtient $H_{n,k}=F_{k+1}F_{n-k+1}$ .

Propriétés

Le triangle est symétrique : $H_{n,k}=H_{n,n+1-k}$ .

La relation $H_{n,k}=H_{n-1,k-1}+H_{n-2,k-2}$ est valable pour $2\leqslant k\leqslant n$ .

Les deux bords du triangle sont constitués des nombres de Fibonacci : $H_{n,0}=H_{n,n}=F_{n+1}$ , ainsi que les deux diagonales situées juste en dessous : $H_{n,1}=H_{n,n-1}=F_{n}$ .

Les termes centraux sont les carrés des nombres de Fibonacci : $H_{2n,n}=(F_{n+1})^{2}$ .

Les autres termes du triangle sont produits de deux nombres de Fibonacci distincts.

La suite des sommes des termes de chaque ligne est le produit de convolution de la suite de Fibonacci par elle-même : 1, 2, 5, 10, 20,..., suite A001629 de l'OEIS^[5].
Les termes opposés des sommets d'un losange ont des produits égaux ; par exemple $3\times 24=8\times 9$ dans la figure ci-contre.