Tribu produit

Étant donnés deux espaces mesurables ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {T}}_{1})}$ et ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {T}}_{2})}$, la tribu produit, notée ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}}$, permet de donner une structure d'espace mesurable à l'ensemble produit ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$ ; elle est définie de la façon suivante :

• ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}}$ est la tribu engendrée par les pavés mesurables ${\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}}$ où ${\displaystyle R_{1}\in {\mathcal {T}}_{1},R_{2}\in {\mathcal {T}}_{2}}$ ou, de manière équivalente, la plus petite tribu contenant les pavés mesurables^[1] ;
• on peut la définir aussi comme la plus petite tribu rendant mesurables les projections ${\displaystyle \pi _{1}}$ et ${\displaystyle \pi _{2}}$ définies par : ${\displaystyle \pi _{i}(\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{i},\ i=1,2}$^[2].

Le lemme de transport permet de montrer qu'une application ${\displaystyle f}$, définie sur un espace mesurable ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ à valeurs dans l'espace produit ${\displaystyle (E_{1}\times E_{2},{\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2})}$, est mesurable pour la tribu produit si et seulement si les applications coordonnées ${\displaystyle f_{i}}$ sont, chacune, mesurables pour les tribus ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{i}}$^[3]. En particulier les applications ${\displaystyle y\mapsto (x,y)}$ (pour ${\displaystyle x}$ fixé) et ${\displaystyle x\mapsto (x,y)}$ (pour ${\displaystyle y}$ fixé) sont aussi mesurables.

Étant donnés deux espaces topologiques ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {O}}_{1})}$ et ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {O}}_{2})}$ munies de leurs tribus boréliennes respectives ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}$. Il y a alors deux façons naturelles de donner au produit ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$ une structure d'espace mesurable :

1. à partir de la tribu produit ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}}$
2. à partir de la tribu borélienne engendrée par la topologie produit ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2}}$, notée ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})}$.

La première est toujours incluse dans la seconde^[4]. En effet, les projections ${\displaystyle \pi _{i}}$ sont continues pour la topologie produit, donc mesurables pour la tribu borélienne ; la tribu produit étant la plus petite tribu rendant mesurables les projections on obtient l'inclusion désirée.

Si les espaces topologiques ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {O}}_{i})}$ sont à base dénombrable alors ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}={\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})}$^[4]. En particulier ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{2})}$. Un contre-exemple possible est ${\displaystyle \Omega _{1}=\Omega _{2}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ l'ensemble des fonctions réelles bornées^{[réf. souhaitée]}.

Démonstration de ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}={\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})}$

Soit ${\displaystyle U}$ un ouvert de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2}}$, alors ${\displaystyle U}$ est une union dénombrable de pavés mesurables de la forme ${\displaystyle U_{1}\times U_{2}}$ (car ils forment une base dénombrable de la topologie produit) : par conséquent ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2},}$ d'où ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})\subset {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}}$.

Le produit d'un nombre fini, disons ${\displaystyle n}$, de tribus se définit de façon similaire : il s'agit de la plus petite tribu contenant les pavés mesurables ${\displaystyle R_{1}\times \ldots \times R_{n}}$^[5]. Les propriétés énoncées pour le produit de deux tribus s'étendent sans difficulté au cas de ${\displaystyle n}$ tribus.