Tricolorabilité

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En théorie des nœuds, le tricolorabilité est la propriété d'un nœud que l'on peut colorer en trois couleurs différentes en respectant les règles suivantes^[1] :

• Le changement de couleur ne peut se faire qu'à un endroit caché de la corde.
• À un croisement, on doit trouver soit les trois couleurs, soit une seule.

Cette propriété est un invariant de nœuds, c'est-à-dire qu'un nœud qui est, ou non, tricoloriable, le reste quand on le déforme en respectant les règles topologiques des nœuds. Elle aide donc à déterminer si deux nœuds sont bien distincts ou équivalents.

Cette propriété est reliée au polynôme d'Alexander : le nœud est tricolorable si et seulement si la valeur du polynome d'Alexandre pour ${\displaystyle t=-1}$ est divisible par 3^[2]. Ainsi, par exemple, le nœud de trèfle donné en illustration a pour polyôme d'Alexander ${\displaystyle \Delta (t)=t-1+t^{-1}}$. ${\displaystyle \Delta (-1)=-3}$ qui est bien divisible par 3.

Cette propriété se généralise en p-colorabilité pour tout p premier. Un nœud est p-colorable (coloriable avec p couleurs différentes) si et seulement si ${\displaystyle \Delta (-1)}$ est divisible par p^[2].