Type et cotype d'un espace de Banach

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Soit ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ un espace de Banach et ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ un espace probabilisé. Soit de plus ${\displaystyle \varepsilon =(\varepsilon _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ une suite de variables aléatoires de Rademacher indépendantes, c’est-à-dire que l’on a

${\displaystyle \mathbb {P} (\varepsilon _{i}=-1)=\mathbb {P} (\varepsilon _{i}=1)={\frac {1}{2}}}$

ainsi que ${\displaystyle \mathbb {E} [\varepsilon _{i}]=0}$ et ${\displaystyle \operatorname {Var} [\varepsilon _{i}]=1}$, et une orthogonalité deux à deux pour ${\displaystyle i\neq m}$ :

${\displaystyle \langle \varepsilon _{i},\varepsilon _{m}\rangle _{L^{2}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}=\mathbb {E} [\varepsilon _{i}\varepsilon _{m}]=0}$.

En général, l’espace ${\displaystyle X}$ ne dispose pas d’une structure d’orthogonalité, c’est pourquoi on considère l’orthogonalité des variables de Rademacher dans l’espace ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ afin de comparer la géométrie de ${\displaystyle X}$ à celle des espaces de Hilbert. On obtient ainsi une structure probabiliste de remplacement pour l’orthogonalité.

${\displaystyle X}$ est de type ${\displaystyle p}$ avec ${\displaystyle p\in [1,2]}$ si une constante finie ${\displaystyle C\geq 1}$ existe tel que

${\displaystyle \mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{p}\right]\leq C^{p}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)}$

pour toute suite finie ${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n}\in X^{n}}$. On écrit pour la meilleure constante ${\displaystyle T_{p}(X)}$.

${\displaystyle X}$ est de cotype ${\displaystyle q}$ avec ${\displaystyle q\in [2,\infty ]}$ si une constante finie ${\displaystyle C\geq 1}$ existe tel que

${\displaystyle \mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{q}\right]\geq {\frac {1}{C^{q}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{q}\right),\quad {\text{si}}\;2\leq q<\infty }$

respectivement

${\displaystyle \mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|\right]\geq {\frac {1}{C}}\sup \|x_{i}\|,\quad {\text{si}}\;q=\infty }$

pour toute suite finie ${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n}\in X^{n}}$. On écrit pour la meilleure constante ${\displaystyle C_{q}(X)}$^[1].

• Un espace de Banach est de type ${\displaystyle 2}$ et de cotype ${\displaystyle 2}$ si et seulement s'il est isomorphe à un espace de Hilbert, alors l'identité pythagoricienne est vraie.
• Un espace de Banach de type ${\displaystyle p}$ est aussi de type ${\displaystyle p'\in [1,p]}$.
• Un espace de Banach de cotype ${\displaystyle q}$ est aussi de cotype ${\displaystyle q'\in [q,\infty ]}$.
• Tout espace de Banach est de type ${\displaystyle 1}$ (découlant de l'inégalité triangulaire).
• L'équation peut également être écrite sous forme abrégée en utilisant la norme de Bochner-Lebesgue.
• L'espace dual ${\displaystyle X^{*}}$ d'un espace de Banach de type ${\displaystyle p}$ (avec ${\displaystyle 1<p\leq 2}$) est de cotype ${\displaystyle p^{*}}$, où ${\displaystyle p^{*}}$ est le nombre conjugué de ${\displaystyle p}$ : ${\displaystyle p^{*}:=(1-1/p)^{-1}}$ est. De plus, ${\displaystyle C_{p^{*}}(X^{*})\leq T_{p}(X)}$ s'applique^[1].