Tétraèdre orthocentrique

Implication directe

Soient ${\displaystyle H_{A},H_{B},\ldots }$ les pieds des hauteurs issues de ${\displaystyle A,B,\ldots }$. Les droites ${\displaystyle (AH_{A})}$ et ${\displaystyle (BH_{B})}$ sont par hypothèse sécantes en ${\displaystyle H}$. Elles forment le plan ${\displaystyle (ABH)}$ qui contient les 4 points ${\displaystyle A,B,H_{A},H_{B}}$.

D’autre part, ${\displaystyle (AH_{A})}$ est orthogonale au plan ${\displaystyle (BCD)}$, donc à toute droite de ce plan, et en particulier à ${\displaystyle (CD)}$. De même,${\displaystyle (BH_{B})}$ est orthogonale à ${\displaystyle (CD)}$, donc le plan ${\displaystyle (ABH)}$ est orthogonal à ${\displaystyle (CD)}$. On en déduit que ${\displaystyle (AB)}$ est orthogonale à ${\displaystyle (CD)}$ et on fait de même avec les autres paires d'arêtes.

Réciproque

Soient cette fois ${\displaystyle H_{A},H_{B},\ldots }$ les orthocentres des faces opposées aux indices. Les deux droites sécantes ${\displaystyle (BH_{A})}$ et ${\displaystyle (AB)}$ étant orthogonales à ${\displaystyle (CD)}$, le plan ${\displaystyle (ABH_{A})}$ est aussi orthogonal à ${\displaystyle (CD)}$, et de même le plan ${\displaystyle (ABH_{B})}$ ; Les plans ${\displaystyle (ABH_{A})}$ et ${\displaystyle (ABH_{B})}$, orthogonaux à une même droite et ayant un point en commun, sont égaux. Les droites ${\displaystyle (AH_{A})}$ et ${\displaystyle (BH_{B})}$ de ce plan sont donc sécantes en un point ${\displaystyle H}$. La droite ${\displaystyle (AH_{A})}$ du plan ${\displaystyle (ABH_{A})}$ est orthogonale à ${\displaystyle (CD)}$, et on démontrerait de même qu'elle est orthogonale à ${\displaystyle (BD)}$ ; elle est donc orthogonale au plan ${\displaystyle (BCD)}$, c'est la hauteur issue de ${\displaystyle A}$. De même ${\displaystyle (BH_{B})}$ est la hauteur issue de ${\displaystyle B}$, et ces deux hauteurs sont sécantes. Par symétrie, les quatre hauteurs sont donc deux à deux sécantes, donc concourantes car non coplanaires.

Implication directe :

Reprenant la démonstration précédente, la droite ${\displaystyle (BH_{A})}$ du plan ${\displaystyle (ABH)}$ orthogonal à ${\displaystyle (CD)}$ est orthogonale à ${\displaystyle (CD)}$ ; c'est donc la hauteur issue de ${\displaystyle B}$ dans le triangle ${\displaystyle (BCD)}$. Mais par symétrie des hypothèses, les droites ${\displaystyle (CH_{A})}$ et ${\displaystyle (DH_{A})}$ sont les deux autres hauteurs du triangle ${\displaystyle BCD}$ : ${\displaystyle H_{A}}$ en est donc l'orthocentre, et de même pour ${\displaystyle H_{B},H_{C},H_{D}}$.

Réciproque :

Supposons que ${\displaystyle H_{A}}$ soit l'orthocentre de ${\displaystyle BCD}$. Le plan ${\displaystyle (ABH_{A})}$ contient les droites ${\displaystyle (BH_{A})}$ et ${\displaystyle (AH_{A})}$ qui sont orthogonales à ${\displaystyle (CD)}$, il est donc orthogonal à ${\displaystyle (CD)}$. La droite ${\displaystyle (AB)}$ qui est dans ce plan est donc orthogonale à ${\displaystyle (CD)}$ et on pourrait faire de même avec les autres paires d'arêtes opposées.

On part de ${\displaystyle AB^{2}+CD^{2}-(AC^{2}+BD^{2})=(AB^{2}-AC^{2})-(DB^{2}-DC^{2})={\overrightarrow {CB}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})-{\overrightarrow {CB}}\cdot ({\overrightarrow {DB}}+{\overrightarrow {DC}})=2{\overrightarrow {CB}}\cdot {\overrightarrow {AD}}}$.

Il en résulte que ${\displaystyle AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}}$ si et seulement si les arêtes ${\displaystyle (AD)}$ et ${\displaystyle (BC)}$ sont orthogonales. En écrivant la même relation pour les arêtes ${\displaystyle (AB)}$ et ${\displaystyle (CD)}$, on obtient bien cette condition nécessaire et suffisante.

Le point ${\displaystyle H}$ appartient au plan ${\displaystyle (ABH)}$ qui est le plan contenant ${\displaystyle (AB)}$ et orthogonal à ${\displaystyle (CD)}$; il appartient aussi au plan ${\displaystyle (CDH)}$ qui est le plan contenant ${\displaystyle (CD)}$ et orthogonal à ${\displaystyle (AB)}$ ; il appartient donc à leur intersection qui est la bihauteur perpendiculaire commune à ${\displaystyle (AB)}$ et ${\displaystyle (CD)}$. De même, il appartient aux deux autres bihauteurs.

On pose ${\displaystyle M}$ le symétrique de ${\displaystyle O}$ par rapport à ${\displaystyle G}$.

Soient I et J les milieux respectifs de [AB] et [CD] ; on va montrer que ${\displaystyle {\overrightarrow {IM}}={\overrightarrow {OJ}}}$ ; comme (OJ) est orthogonale à (CD) cela prouvera que le plan passant par ${\displaystyle I}$ et orthogonal à ${\displaystyle (CD)}$ passe par ${\displaystyle M}$, et, par symétrie, la même propriété pour les six plans similaires.

On peut écrire : ${\displaystyle {\overrightarrow {MI}}+{\overrightarrow {MJ}}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {MC}}+{\overrightarrow {MD}})=2{\overrightarrow {MO}}+2{\overrightarrow {OG}}}$ ; or ${\displaystyle {\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {OM}}}$, donc ${\displaystyle {\overrightarrow {MI}}+{\overrightarrow {MJ}}={\overrightarrow {MO}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {IM}}={\overrightarrow {OJ}}}$.

Si le tétraèdre est orthocentrique, le plan passant par le milieu de ${\displaystyle (AB)}$ et orthogonal à ${\displaystyle (CD)}$ est le plan contenant ${\displaystyle (AB)}$ et orthogonal à ${\displaystyle (CD)}$. Raisonnant de même pour la plan passant par le milieu de ${\displaystyle (CD)}$ et orthogonal à ${\displaystyle (AB)}$, on obtient que le point ${\displaystyle M}$ appartient à leur intersection qui est la bihauteur associée à ${\displaystyle (AB)}$ et ${\displaystyle (CD)}$. Il appartient donc aux trois bihauteurs, qui concourent en ${\displaystyle H}$ ; donc ${\displaystyle M=H}$.