Variété jacobienne

• ${\displaystyle J}$ est une variété abélienne de dimension ${\displaystyle g}$ si ${\displaystyle g=g(C)}$ est le genre de ${\displaystyle C}$.
• Si ${\displaystyle C}$ possède un point rationnel ${\displaystyle P}$, alors on a une immersion fermée ${\displaystyle i:C\to J}$ qui envoie ${\displaystyle P}$ sur 0 (élément neutre de ${\displaystyle J}$) et tout point rationnel ${\displaystyle Q}$ sur la classe du diviseur de degré 0 ${\displaystyle Q-P}$ dans ${\displaystyle \mathrm {Pic} ^{0}(C)}$. De plus tout morphisme ${\displaystyle C\to A}$ dans une variété abélienne ${\displaystyle A}$ qui envoie ${\displaystyle P}$ sur 0 se factorise en ${\displaystyle i:C\to J}$ et un morphisme de variétés abéliennes ${\displaystyle J\to A}$.
• Sous l'hypothèse ci-dessus, pour tout entier positif ${\displaystyle r}$, il existe un morphisme ${\displaystyle f_{r}:C^{(r)}\to J}$ du produit symétrique ${\displaystyle C^{(r)}}$ (le quotient de ${\displaystyle C^{r}}$ par le groupe symétrique ${\displaystyle S_{r}}$ opérant par 'permutation des coordonnées') dans la jacobienne. Ensemblistement, ${\displaystyle f_{r}}$ envoie une somme ${\displaystyle x_{1}+\ldots +x_{r}}$ de ${\displaystyle r}$ points rationnels sur la classe du diviseur ${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})-rP}$. Le morphisme ${\displaystyle f_{g}}$ est birationnel. L'image de ${\displaystyle f_{r-1}}$ est un diviseur dans ${\displaystyle J}$, appelé diviseur théta ${\displaystyle \theta }$.
• Le diviseur ${\displaystyle \theta }$ induit un isomorphe de ${\displaystyle J}$ avec sa variété abélienne duale. On dit que ${\displaystyle J}$ est autoduale.
• Toute variété abélienne est un quotient d'une jacobienne.

(en) J. Milne, « Jacobian varieties », in Arithmetic Geometry, ed. Cornell, Silverman, Springer-Verlag.

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