Variété fermée

L'exemple le plus simple est un cercle muni de la topologie ouverte canonique induite de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Il s'agit d'une variété compacte unidimensionnelle sans bord. La sphère, le plan projectif, la bouteille de Klein et le tore sont d'autres exemples de variétés fermées.

La droite réelle, puisqu'elle n'est pas compacte, et le disque circulaire bidimensionnel constituent des contre-exemples. Ce dernier est compact, mais possède un bord.

Ne pas confondre la notion de variété fermée avec celle d'ensemble fermé (notion définie pour les sous-ensembles d'un espace topologique, relativement à la topologie de cet espace). Ainsi, toute sous-variété de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est fermée au sens topologique, mais pas nécessairement au sens défini ci-dessus.

• Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 1, Houston TX, Publish or Perish, 2005, 3^e éd. (ISBN 0-914098-70-5).

• Portail des mathématiques