Bouteille de Klein

Il est impossible de représenter la bouteille de Klein dans l'espace ℝ³ (l'espace à 3 dimensions), sauf si l'on accepte qu'elle se traverse elle-même. Dans ℝ⁴, il est par contre possible de la réaliser sans auto-intersection (mathématiquement, on dit qu'elle possède un plongement (immersion injective) de classe C^∞ dans ℝ⁴).

Voici un plan de montage dans ℝ³. À partir du carré initial, on colle les deux bords rouges l'un contre l'autre, dans le sens des flèches. La figure obtenue est un cylindre, dont on veut identifier les deux bords à l'aide des flèches bleues. Pour respecter le sens de ces flèches, il est nécessaire de retourner l'un des cercles avant de le recoller à l'autre, et pour cela, d'opérer une auto-intersection.

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Si les deux segments bleus étaient orientés de la même façon, le recollement des segments opposés donnerait un tore. Si au contraire, les deux segments rouges étaient orientés en sens inverse comme les deux segments bleus, le recollement des segments opposés donnerait un plan projectif.

La bouteille de Klein peut aussi être obtenue par recollement de deux rubans de Möbius le long de leurs bords. De manière équivalente, la bouteille de Klein est la somme connexe de deux plans projectifs.

On se donne deux exemplaires d'un tel carré, et on obtient deux exemplaires de ruban de Möbius en faisant cette fois d'abord l'identification suivant les flèches bleues. Chacun de ces rubans a alors un seul bord : les côtés verticaux rouges qui ont été connectés à la suite de l'identification précédente ; recoller les deux rubans suivant leurs bords peut alors être considéré comme équivalent à recoller le bord droit du second carré, au bord gauche du premier, et vice-versa. On voit aisément qu'on retrouve alors bien le cylindre, mais avec l'identification des bords bleus déjà effectuée, c'est-à-dire la bouteille de Klein.

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Il est peut-être plus facile de voir qu'une bouteille de Klein coupée en deux dans le sens de la hauteur fournit bien deux rubans de Möbius.

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La paramétrisation de l'immersion dans trois dimensions de la bouteille de Klein vue précédemment s'obtient comme suit : ${\displaystyle u}$ est un paramètre qui suit le corps de la bouteille tandis que ${\displaystyle v}$ évolue le long de sa section.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x&=&{\frac {{\sqrt {2}}\left(20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi ^{2}u-16\pi ^{3}\right)\cos \left(v\right)\left(\cos \left(u\right)\left(3\cos ^{2}\left(u\right)-1\right)-2\cos \left(2u\right)\right)}{80\pi ^{3}{\sqrt {8\cos ^{2}\left(2u\right)-\cos \left(2u\right)\left(24\cos ^{3}\left(u\right)-8\cos \left(u\right)+15\right)+6\cos ^{4}\left(u\right)\left(1-3\sin ^{2}\left(u\right)\right)+17}}}}-{\frac {3\cos \left(u\right)-3}{4}}\\y&=&-{\frac {\left(20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi ^{2}u-16\pi ^{3}\right)\sin v}{60\pi ^{3}}}\\z&=&-{\frac {{\sqrt {2}}\left(20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi ^{2}u-16\pi ^{3}\right)\sin u\,\cos v}{15\pi ^{3}{\sqrt {8\cos ^{2}\left(2u\right)-\cos \left(2u\right)\left(24\cos ^{3}\left(u\right)-8\cos \left(u\right)+15\right)+6\cos ^{4}\left(u\right)\left(1-3\sin ^{2}u\right)+17}}}}+{\frac {\sin \left(u\right)\cos ^{2}\left(u\right)+\sin u}{4}}-{\frac {\sin u\,\cos u}{2}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\text{avec}}\quad 0\leq u<2\pi \quad {\text{et}}\quad 0\leq v<2\pi .}$^{[Information douteuse][réf. nécessaire]}

Une paramétrisation plus simple s'obtient de la façon suivante, donnant une immersion en « 8 » de la bouteille de Klein. Elle consiste à prendre une courbe en forme de 8 dans un plan vertical, et à lui faire effectuer un tour complet autour de l'axe Oz pendant que le 8 lui-même effectue un demi-tour. Cette construction est comparable à celle du ruban de Möbius, où le segment pivotant est remplacé par le 8. La bouteille de Klein est alors formée à partir d'un cylindre dont la base est en forme de 8, les deux bases opposées étant recollées de façon compatible avec leur orientation.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x&=&\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u\\y&=&\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u\\z&=&\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v\end{array}}}$

Dans cette immersion, l'auto-intersection est un cercle inscrit dans le plan Oxy. La constante positive ${\displaystyle r}$ est le rayon de ce cercle. Le paramètre ${\displaystyle u}$ donne l'angle dans le plan Oxy et ${\displaystyle v}$ est un paramètre définissant la section de la figure en forme de 8.

• La bouteille de Klein est la somme connexe de deux plans projectifs réels.
• En la coupant en deux par rapport à son plan de symétrie, on obtient deux fois un ruban de Möbius.
• Sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle.
• Ses nombres de Betti non nuls sont b₀ = 1 et b₁ = 1.
• Son nombre chromatique est 6.
• Son groupe fondamental (qu'on peut calculer^[4] en considérant la bouteille comme un CW-complexe, ou comme un quotient du plan ou du tore, ou comme l'espace total d'une fibration en cercles sur le cercle) est le produit semi-direct de ℤ par lui-même donné par la présentation 〈a, b | aba⁻¹b〉.
• D'après le théorème d'Hurewicz, son premier groupe d'homologie en est l'abélianisé. C'est donc le produit direct ℤ×ℤ₂.
• La bouteille de Klein possède un revêtement orientable à deux feuillets, difféomorphe au tore.