Vecteur excentricité

Rappel des propriétés du mouvement à deux corps

Dans l'étude générale du problème à deux corps, de masses m₁ et m₂, il est possible de montrer :

• que du fait de la conservation de la quantité de mouvement du système global, il y a séparation entre le mouvement (rectiligne et uniforme) du centre d'inertie du système global des deux corps, de masse totale M par rapport à un référentiel galiléen donné, et celui d'une particule fictive de masse (dite réduite) ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$, dans le référentiel barycentrique^[3], soumise à la force d'interaction entre les deux corps. Les trajectoires « réelles » de ces derniers se déduisent de celle de la particule fictive par homothétie (cf. Problème à deux corps).
• que du fait du caractère central de la force à laquelle elle est soumise, il y a conservation du moment cinétique ${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\wedge \mu {\dot {\vec {r}}}}$ de la particule fictive, ce qui implique que sa trajectoire est plane. Il est alors possible d'utiliser les coordonnées cylindro-polaires ${\displaystyle (r,\theta )}$ pour décrire le mouvement de la particule fictive, pour lesquelles le moment cinétique s'écrit ${\displaystyle {\vec {L}}=\mu r^{2}{\dot {\theta }}{\vec {u}}_{z}}$.

Notations et symboles

Dans l'article les vecteurs unitaires sont notés ${\displaystyle {\vec {u}}_{z}}$ pour la perpendiculaire au plan orbital, ${\displaystyle {\vec {u}}_{r}}$ pour le vecteur tournant radial et ${\displaystyle {\vec {u}}_{n}}$ pour la normale soit le vecteur tournant perpendiculaire au vecteur radial. De plus ${\displaystyle M}$ représente la masse totale du système donc égale à ${\displaystyle m_{1}+m_{2}}$. Enfin le point sur les notations signifie la dérivée par rapport au temps. Par exemple ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ est la dérivée de l'angle ${\displaystyle \theta }$ soit la vitesse angulaire. De même ${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}}$ est la dérivée du vecteur rayon soit le vecteur vitesse et ${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}}$ est la double dérivée du vecteur rayon soit le vecteur accélération.

Mise en évidence du vecteur excentricité

Dans le cas très important en astronomie où la force d'interaction est en ${\displaystyle 1/r^{2}}$ ^[4], l'équation du mouvement de la particule fictive se met sous la forme^{[R 1]} :

${\displaystyle \mu {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {GM\mu }{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}}$.

Par suite, en tenant compte du fait que ${\displaystyle {\vec {L}}={\overrightarrow {cte}}}$, il vient :

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}\wedge {\vec {L}}={\frac {d}{dt}}\left({\dot {\vec {r}}}\wedge {\vec {L}}\right)=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {L}}=-{\frac {GM\mu }{r^{2}}}{\dot {\theta }}r^{2}{\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{z}=GM\mu {\dot {\theta }}{\vec {u}}_{n}}$.

Or puisque ${\displaystyle {\dot {{\vec {u}}_{r}}}={\dot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }}$, il vient aussitôt par réarrangement :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\dot {\vec {r}}}\wedge {\vec {L}}}{GM\mu }}-{\vec {u}}_{r}\right)={\vec {0}}}$.

Par suite, la grandeur vectorielle sans dimension, appelé vecteur excentricité^{[R 1]}, est une intégrale première du mouvement à deux corps dans le seul cas d'un potentiel newtonien :

${\displaystyle {\vec {e}}={\frac {{\dot {\vec {r}}}\wedge {\vec {L}}}{GM\mu }}-{\vec {u}}_{r}}$.

Il est alors possible de prendre comme origine de l'angle polaire θ la direction de ${\displaystyle {\vec {e}}}$, et de montrer en posant ${\displaystyle e=\|{\vec {e}}\|}$ que ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {e}}=re\cos {\theta }=p-r}$, où ${\displaystyle p={\frac {L^{2}}{GM\mu ^{2}}}}$. Par suite l'équation de la trajectoire de la particule fictive est celle d'une conique d'excentricité e (d'où le nom du vecteur ${\displaystyle {\vec {e}}}$) et de paramètre p, égale à la distance d'approche minimale du centre de force qui occupe l'un des foyers de cette conique^{[R 1]}.