Draper est né à Bristol, alors deuxième plus grande ville d’Angleterre, d’un jeune douanier[1]. Son père meurt l’année suivante et la famille éprouve des difficultés financières pendant de nombreuses années, passant quelque temps en Inde britannique[1]. Draper fait ses études à la Bristol Cathedral School, puis au Collège d'Eton, où il obtient une bourse en 1733, et au King’s College de Cambridge[2]. En 1744, pendant la guerre de Succession d’Autriche, il rejoint l’armée britanniqu avec la grade d’enseigne dans le régiment de William Beauclerk. Draper est nommé adjudant dans le 1er régiment des gardes à pied en 1746 et accède aux grades de lieutenant et de capitaine en 1749. En 1756, il épouse en premières noces Caroline, fille de William Beauclerk. Il épouse sa seconde femme, Elizabeth March, quelque temps après, jusqu’à ce qu’elle l’abandonne à Bombay en 1773.
Pendant la guerre de Sept Ans, il commande le 79e régiment d’infanterie, levé par lui-même, au siège de Madras de 1758 à 1759[3]. Colonel en 1762, il remporte son plus grand triomphe lorsqu’il mène avec l’officier de la Royal Navy Samuel Cornish une expédition contre Manille, tenue par les Espagnols, et s’empare de la ville le 6 octobre 1762. L’occupation britannique de Manille dure jusqu’en 1764, après quoi elle est rendue à l’Espagne. La nouvelle de la prise de Manille arrive trop tard pour être affectée par le traité de Paris, les Britanniques rendent la ville contre le paiement d'une rançon[4].
En 1769, il perd sa femme et part en tournée dans les colonies américaines. En Amérique du Nord, il épouse Susanna De Lancey, fille d’Oliver De Lancey, le chef d’une des principales familles de la province de New York.
Lieutenant-général en 1777, il devient lieutenant-gouverneur de Minorque de 1779 à 1782, jusqu’à ce que l’île soit prise par une expédition franco-espagnole. Il formule des accusations non fondées d’inconduite contre le lieutenant général James Murray, qui l’avait suspendu. Il est réprimandé par une cour martiale générale en 1783. Il meurt le 8 janvier 1787 et est enterré dans l’ancienne église abbatiale de Bath, où un monument est érigé à sa mémoire.
