Écoulement de Hiemenz

Le problème posé est celui d'un écoulement irrotationnel impactant un cylindre perpendiculairement à celui-ci. Le potentiel est ${\displaystyle \textstyle \psi =axz}$, ${\displaystyle \textstyle z}$ étant l'axe portant l'écoulement amont^[3]. Les composantes de la vitesse dans le milieu amont sont :

${\displaystyle U=ax\,,\quad V=-az}$

Si ${\displaystyle \textstyle p_{0}}$ est la pression au point d'arrêt, la pression en tout point est donnée par la conservation de quantité de mouvement :

${\displaystyle p_{0}-p={\frac {1}{2}}\rho \,(U^{2}+V^{2})={\frac {1}{2}}\rho \,a^{2}(x^{2}+z^{2})}$

Au voisinage de la paroi il apparaît une couche limite et la solution générale est recherchée sous la forme suivante :

${\displaystyle u=xf'(z)\,,\quad v=-f(z)\,,\quad p_{0}-p={\frac {1}{2}}\rho \,a^{2}(x^{2}+F(z)^{2})}$

Ces équations satisfont par construction à l'équation de continuité. La conservation de quantité de mouvement conduit à :

${\displaystyle f'^{2}-ff'=a^{2}+\nu f'''}$

${\displaystyle ff'={\frac {1}{2}}a^{2}F'-\nu f''}$

où υ est la viscosité cinématique.

Les conditions aux limites sont :

${\displaystyle f(0)=0\,,\quad f'(0)=0\,,\quad F(0)=0\,,\quad \lim \limits _{z\to \infty }{f'}=a}$

La première équation est indépendante et peut être transformée en posant :

${\displaystyle \eta =\alpha z\,,\quad f(z)=A\phi (\eta )}$

Elle devient :

${\displaystyle \alpha ^{2}A^{2}(\phi '^{2}-\phi \phi '')=a^{2}+\nu A\alpha ^{3}\phi '''}$

En posant :

${\displaystyle \alpha ^{2}A^{2}=a^{2}\,,\quad \nu A\alpha ^{3}=a^{2}\quad \Rightarrow \quad \eta ={\sqrt {\frac {a}{\nu }}}z\,,\quad f(z)={\sqrt {a\nu }}\,\phi (\eta )}$

Elle devient l'équation adimensionée :

${\displaystyle \phi '''+\phi \phi ''-\phi ^{2}+1=0}$

avec les conditions aux limites :

${\displaystyle \phi (0)=0\,,\quad \phi '(0)=0\,,\quad \lim \limits _{\eta \to \infty }{\phi '}=1}$

La vitesse relative parallèle à la paroi (dans la « couche limite ») est indépendante de x :

${\displaystyle {\frac {u}{U}}={\frac {1}{a}}f'(z)=\phi '(\eta )}$

L'accélération pariétale est ${\displaystyle \textstyle \phi ''(0)=1,2326}$.

Si l'on prend pour définition de l'épaisseur de couche limite ${\displaystyle \textstyle {\frac {u}{U}}=0.99}$, l'épaisseur de celle-ci (voir courbe) est donnée par ${\displaystyle \textstyle \delta \approx 2.4{\sqrt {\frac {\nu }{a}}}}$.

La méthode a été généralisée à un point d'arrêt axisymétrique^[3], à un jet en incidence et à des parois en mouvement, par exemple un cylindre en rotation.

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